Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \((P):x + y + z – 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; – 3;0} \right),B\left( {5; – 1; – 2} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho \(\left| {MA – MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(\left( {{x_A} + {y_A} + {z_A} – 1} \right)\left( {{x_B} + {y_B} + {z_B} – 1} \right)

Suy ra: A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi \(B’\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với B(5;-1;-2)

Suy ra B'(-1;-3;4)

Lại có \(\left| {MA – MB} \right| = \left| {MA – MB’} \right| \le AB’ = const\)

Vậy \(\left| {MA – MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất khi M,A,B’ thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB’ với mặt phẳng (P)

AB’ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = – 3\\ z = – 2t \end{array} \right.\)

Tọa độ M(x,y,z) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = – 3\\ z = – 2t\\ x + y + z – 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = – 3\\ x = – 2\\ y = – 3\\ z = 6 \end{array} \right.\)

Vậy điểm M(-2;3;6)