====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( { – 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – y + z – 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(S = M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- A. \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\) \
- B. \(M\left( {1;1;3} \right)\)
- C. \(M\left( {2;1;2} \right)\)
- D. \(M\left( {0;2;1} \right)\)
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có \(I\left( {0;2;1} \right)\)
Vì MI là trung tuyến của MAB nên \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\)
Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P).
Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; – 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 – t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(M = d \cap \left( P \right)\). Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P) ta có: \(t = \frac{4}{3}\)
Vậy tọa độ \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời