====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right)\) và \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}.\) Tìm điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
- A. \(M(-1;1;0)\)
- B. \(M(3;-1;4)\)
- C. \(M(-3;2;-2)\)
- D. \(M(1,0,2)\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1 + 2t\\ y = 1 – t\\ z = 2t \end{array} \right.\)
M thuộc d nên tọa độ M có dạng: \(M( – 1 + 2a;1 – a;2a)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 2;6} \right)\), đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; – 1;3)\) làm VTCP nên có phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 5 – t\\ z = 3t \end{array} \right.\)
Gội H là hình chiếu vuông góc của M lên AB.
H thuộc AB nên tọa độ H có dạng \(H\left( {1 + b;5 – b;3b} \right).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = (b – 2a + 2; – b + a + 4;3b – 2a)\\ \\ \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {MH} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {MH} = 0\\ \\ \Rightarrow 2b – 4a + 4 + 2b – 4a – 8 + 18b – 12a = 0\\ \\ \Leftrightarrow – 8a + 22b – 4 = 0 \Leftrightarrow – 9a + 11b – 2 = 0 \end{array}\)
\(\Rightarrow b = \frac{{9a + 2}}{{11}} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {\frac{{24 – 13a}}{{11}};\frac{{2a + 42}}{{11}};\frac{{5a + 6}}{{11}}} \right)\)
\(\Rightarrow MH = \frac{1}{{11}}\sqrt {{{\left( {24 – 13a} \right)}^2} + {{\left( {2a + 42} \right)}^2} + {{\left( {5a + 6} \right)}^2}}\)
Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi MH ngắn nhất.
Từ tọa độ \(M( – 1 + 2a;1 – a;2a)\) và tọa độ M ở các phương án A, B, C, D ta suy ra A và thay vào (*).
Ta thấy với a=1 thì MH nhỏ nhất.
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời