Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \) và chiều cao bằng \(4\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của \(\left( S \right)\) bằng

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \) và chiều cao bằng \(4\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của \(\left( S \right)\) bằng

A. \(64\pi \). B. \(256\pi \). C. \(192\pi \). D. \(96\pi \).

Lời giải

Gọi \(S\) là đỉnh của hình nón và gọi \(I\) là tâm mặt cầu.

Gọi đường kính đường tròn đáy của hình nón là \(AB\); \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có\(\widehat {ASH} = \frac{1}{2}\widehat {ASB} = 60^\circ \). 

Vì\(\left\{ \begin{array}{l}AI = AS\\\widehat {A\,SI} = 60^\circ \end{array} \right.\) nên \(\Delta AIS\) là tam giác đều. Suy ra \(AI = R = 2SH = 8\).

Vậy \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 256\pi .\)

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.