Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \({120^0}\) và có chiều cao bằng \(3\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \({120^0}\) và có chiều cao bằng \(3\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng

A. \(144\pi \). B. \(108\pi \). C. \(48\pi \). D. \(96\pi \).

Lời giải

Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa trục ta được hình ảnh thiết diện phẳng như sau

Theo bài ra ta có: \(SH = 3,\,\widehat {ASB} = {120^{\rm{o}}}\)

Gọi \(r\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow \,r\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAB\)

Xét tam giác vuông \(HSA\) có \(\widehat {ASH} = {60^{\rm{o}}},\,SH = \,3 \Rightarrow AH = SH.\tan {60^{\rm{o}}} = 3\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow AB = 6\sqrt 3  \Rightarrow \,r = \,\frac{{AB}}{{2\sin {{120}^{\rm{o}}}}} = \)6.

Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(S = 4\pi {r^2} = \,144\pi \).

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.