Câu hỏi:
Tìm tất cả giá trị của m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}}\) có ba tiệm cận gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- A. \(0
- B. \(0
- C. \(m \le 0\)
- D. \(m \geq \frac{1}{2}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = \sqrt m\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = – \sqrt m .\)
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khi m>0
Khi \(x=-2\Rightarrow \sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} = \sqrt {1 – 2m}\)
Với \(m 0\) thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x=-2
Với \(m = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 – 2m} = 0\) ta phải thử với trường hợp \(m=\frac{1}{2}\)
\(m = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} }}{{x + 2}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x + 2}}.\)
Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi \(x \to – {2^ – }\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}{{x + 2}}\)
\(= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \left( { – \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} } \right) = – \infty\)
Từ đó với \(m=\frac{1}{2}\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\)
Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận khi \(0
=====
Mời các bạn xem lại Lý thuyết Đường tiệm cận
Trả lời