Câu hỏi:
Gọi V1 là thể tích của khối trụ có diện tích toàn phần S và Vc là thể tích của khối cầu có diện tích là S. Khi đó, giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{{{V_t}}}{{{V_c}}}\) bằng:
- A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{4}\)
- C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
- D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Chuẩn hóa \(S = 4\pi \). Gọi khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h.
Khi đó \(S = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 4\pi \Rightarrow rh + {r^2} = 2 \Leftrightarrow h = \frac{{2 – {r^2}}}{r} = \frac{2}{r} – r\)
Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {\frac{2}{r} – r} \right) = \pi \left( {2r – {r^3}} \right)\)
Gọi bán kính khối cầu là R suy ra \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \Rightarrow R = 1 \Rightarrow {V_c} = \frac{4}{3}\pi \)
Do đó \(\frac{{{V_t}}}{{{V_c}}} = \frac{{\pi \left( {2r – {r^3}} \right)}}{{\frac{4}{3}\pi }} = \frac{3}{4}.\left( {2r – {r^3}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( r \right) = 2r – {r^3},r > 0\)
Ta có \(f’\left( r \right) = 2 – 3{r^2} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(\min f\left( r \right) = f\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{4\sqrt 6 }}{9} \Rightarrow \min \frac{{{V_t}}}{{{V_c}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
=======
Xem thêm Lý thuyết khối tròn xoay
Trả lời