Câu hỏi:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’; D’. Tính thể tích V’ của khối chóp S.A’B’C’D’.
- A. \(V’ = \frac{V}{3}\)
- B. \(V’ = \frac{2V}{3}\)
- C. \(V’ = \frac{V}{4}\)
- D. \(V’ = \frac{V}{2}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau: Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’).
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)
Theo định lí Ta lét ta có \(\frac{{SD’}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SB’}}{{SB}} = \frac{2}{3}\)
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:
\(\frac{{{V_{SAD’C’}}}}{{{V_{SADC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SD’}}{{SD}}.\frac{{SC’}}{{SC}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{{{V_{SAB’C’}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SC’}}{{SC}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)
Mà \({V_{SADC}} = {V_{SABC}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}}\)
Nên \({V_{SAD’C’B’}} = {V_{SAD’C’}} + {V_{SAB’C’}} = \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} \right){V_{SABCD}} = \frac{V}{3}\)
=======
Xem lý thuyết Thể tích đa diện
Trả lời