Đề bài: Giải hệ phương trình: $(I) \left\{ \begin{array}{l} x^2-3xy+y^2=-1         (1)\\ 3x^2-xy+3y^2=13           (3) \end{array} \right.$

Lời giải

Đây là hệ có các phương trình mà các hạng tử chứa ẩn là đẳng cấp bậc hai. Ta đặt $y=tx$ thì hệ (I) trở thành:
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-3tx^2+t^2x^2=-1\neq 0          (3)\\ 3x^2-tx^2+3t^2x^2=13\neq 0            (4) \end{array} \right.$$
Do đó chia vế với vế (3) cho (4) ta được:
$$\frac{1-3t+t^2}{3-t+3t^2}=-\frac{1}{13}                  (5)$$
Vì $3-t+3t^2=3(t-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}> 0  ,  \forall t$ nên:

$(5)\Leftrightarrow 13(1-3t+t^2)=-(3-t+3t^2)$

       $\Leftrightarrow 16t^2-40t+16=0\Leftrightarrow t_1=\frac{1}{2}, t_2=2$

+ Với $t=\frac{1}{2}$ thì (3) trở thành: $-\frac{x^2}{4}=-1\Rightarrow x=\pm 2$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=tx=1 \end{array} \right. $ và $\left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=tx=-1 \end{array} \right.$

+ Với $t=2$ thì (3) trở thành: $-x^2=-1\Rightarrow x=\pm1$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=tx=2 \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ y=tx=-2 \end{array} \right.$

Hệ (I) đã cho có 4 nghiệm là: $(x;y)=(2;1),(-2;-1),(1;2),(-1;-2)$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đẳng cấp