Đề bài:    Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}x^2+2xy+3y^2=9 \\ 2x^2+2xy+y^2=2 \end{cases}\)

Lời giải

Giải
Rõ rằng \(x=0\) không phải là nghiệm của hệ.
Đặt \(y=kx\) thay vào hệ đã cho ta được:
  \(\begin{cases}x^2+2kx^2+3k^2x^2=9 \\ 2x^2+2kx^2+k^2x^2=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2(1+2k+k^2)=9 \\ x^2(2+2k+k^2)=2 \end{cases}\)
Chia vế theo vế hai phương trình trên ta được:
  \(\frac{1+2k+3k^2}{2+2k+k^2}=\frac{9}{2} \Leftrightarrow 2(1+2k+3k^2)=9(2+2k+k^2)\)
\(\Leftrightarrow 2+4k+6k^2=18+18k+9k^2 \Leftrightarrow 3k^2+14k+16=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = -2\\k =- \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
* Với \(k=-2\) thay vào hệ đã cho ta được: \(x=\pm 1 \Rightarrow y=\mp 2\)
* Với \(k=-\frac{8}{3}\) thay vào hệ đã cho ta được: \(x=\pm \frac{3}{\sqrt{17}} \Rightarrow y=\mp \frac{8}{\sqrt{17}}\) .
Vậy hệ đã cho có \(4\) nghiệm: \((x;y)=(1;-2), (-1;2), (\frac{3}{\sqrt{17}};-\frac{8}{\sqrt{17}}), (-\frac{3}{\sqrt{17}};\frac{8}{\sqrt{17}})\)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đẳng cấp