Đề bài: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^9+y^9=1                                (1)\\ x^{25}+y^{25}=x^{16}+y^{16}                 (2)\end{cases}$

Lời giải

Viết lại $(1) \Leftrightarrow 1=x^9+y^9    (1′)$
Nhân vế theo vế với phương trình $(2)$ có:
  $x^{25}+y^{25}=(x^{16}+y^{16})(x^9+y^9) \Leftrightarrow x^{25}+y^{25}=x^{25}+y^{25}+x^9y^9(x^7+y^7)$
$\Leftrightarrow x^9y^9(x^7+y^7)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=0}\\
{y=0}\\
{x^7+y^7=0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=0}\\
{y=0}\\
{y=-x}
\end{array}} \right.$ Thay vào $(1)$
Với $x=0 \Rightarrow y^9=1 \Leftrightarrow y=1$
Với $y=0 \Rightarrow x^9=1 \Leftrightarrow x=1$
Với $y=-x \Leftrightarrow y^9=-x^9 \Leftrightarrow x^9+y^9=0$ thỏa mãn phương trình $(1)$ (loại)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $(0;1)$ và $(1;0)$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đẳng cấp