Đề bài: Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|\le 1$. Đặt $A=\frac{2z-i}{2+iz}$. Mệnh đề nào dưới đấy đúng?

Đề bài: Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|\le 1$. Đặt $A=\frac{2z-i}{2+iz}$. Mệnh đề nào dưới đấy đúng?
A. $\left| A \right| \ll 1.$
B. $\left| A \right|\le 1.$
C. $\left| A \right|\ge 1.$
D. $\left| A \right|>1.$

Từ giả thiết, ta có $A=\frac{2z-i}{2+iz}\Leftrightarrow A(2+iz)=2z-i\Leftrightarrow 2A+Azi=2z-i$
$\Leftrightarrow 2 \mathrm{A}+\mathrm{i}=\mathrm{z}(\mathrm{Ai}-2) \Leftrightarrow \mathrm{z}=\frac{2 \mathrm{A}+\mathrm{i}}{\mathrm{Ai}-2} .$
Mà $|\text{z}|\le 1\Rightarrow \left| \frac{2\text{A}+\text{i}}{\text{Ai}-2} \right|\le 1\Leftrightarrow |2\text{A}+\text{i}|\le |\text{Ai}-2|\,(*)$
Đặt $A=x+y i(x, y \in \mathbb{R}),$ khi đó $(*)\Leftrightarrow |2x+(2y+1)i\le |-y-2+xi|$
$\Leftrightarrow \sqrt{4 x^{2}+(2 y+1)^{2}} \leq \sqrt{(y+2)^{2}+x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2}+4 y^{2}+4 y+1 \leq x^{2}+y^{2}+4 y+4 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2} \leq 1$
Vậy $A=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1$.