Đề bài: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+my-m=0      (1)\\ x^2+y^2-x=0        (2) \end{array} \right.$a) Tìm tập hợp các giá trị của $m$ để hệ có hai nghiệm phân biệt.b) Gọi $( x_{1};y_{1}),(x_{2};y_{2})$ là các nghiệm của hệ. Chứng minh $(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2 \leq 1$ 

Lời giải

a)Ta có $(1) \Leftrightarrow 
x=m(1-y)               (3)$

 thế vào $(2)$ có $m^2(1-y)^2 +y^2-my=0$

 $\Leftrightarrow  (m^2+1)y^2-m(2m-1)y+m^2-m=0         (4)$

 Với mỗi y,phương
trình $(1)$ cho duy nhất một giá trị của x,bởi thế nên hệ có nghiệm phân biệt khi phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt.Điều ấy có khi và chỉ khi $\Delta$>0 $\Leftrightarrow$ $m^2(2m-1)^2-4(m^2+1)(m^2-m)>0$ $\Leftrightarrow$ $m(4-3m) >0$ $\Leftrightarrow
0

b) $(2)\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}$
Với mọi điểm M($x_{1}$;$y_{1}$), N($x_{2}$;$y_{2}$) thuộc $(C)$ luôn có $MN  \leq 2R \Leftrightarrow  MN^2 \leq 4R^2 = 4. \frac{1}{4}$ hay $
(x_{2}- x_{1})^2+( y_{2}- y_{1})^2 \leq1 (đpcm)$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn