[Dạng câu 50 Toán L2 – 2020] Cho \(0\le x,y\le 1\) thỏa mãn\({{2020}^{1-x-y}}=\frac{{{x}^{2}}+2021}{{{y}^{2}}-2y+2022}.\) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=2{{x}^{3}}+6{{y}^{3}}+3{{x}^{2}}-9xy\) Khi đó\(M+m\) bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có \({{2020}^{1-x-y}}=\frac{{{x}^{2}}+2021}{{{y}^{2}}-2y+2022}\Leftrightarrow \frac{{{2020}^{1-y}}}{{{2020}^{x}}}=\frac{{{x}^{2}}+2021}{{{\left( 1-y \right)}^{2}}+2021}\)

\({{2020}^{x}}\left( {{x}^{2}}+2021 \right)={{2020}^{1-y}}\left[ {{\left( 1-y \right)}^{2}}+2021 \right]\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( 1-y \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2020}^{t}}\left( {{t}^{2}}+2021 \right)={{t}^{2}}{{.2020}^{t}}+{{2021.2020}^{t}},\)có
\(f’\left( t \right)=2t{{.2020}^{t}}+{{t}^{2}}{{.2020}^{t}}.\ln 2020+{{2021.2020}^{t}}.\ln 2020>0;\forall t>0\)
Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\) mà \(f\left( x \right)=f\left( 1-y \right)\Rightarrow x+y=1\)
Lại có \(S=2{{x}^{3}}+6{{y}^{3}}+3{{x}^{2}}-9xy=2{{x}^{3}}+6{{(1-x)}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x(1-x)\)

\(\Leftrightarrow S=2{{x}^{3}}+6{{(1-x)}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x(1-x)=-4{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}-27x+6\)
Xét hàm \(g(x)=-4{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}-27x+6;\text{ }x\in \left[ 0;1 \right]\)
Ta có: \(g'(x)=-12{{x}^{2}}+60x-27;\text{ }x\in \left[ 0;1 \right]\)
Xét \(g'(x)=0\Leftrightarrow -12{{x}^{2}}+60x-27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{9}{2}\notin \left[ 0;1 \right] \\
x=\frac{1}{2}\in \left[ 0;1 \right] \\
\end{matrix} \right.\text{ }\)
Ta có: \(g(0)=6;g(1)=5;g(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\)

Vậy: \(M+m=6-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\).