Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\)có từ \(5\) đến không quá \(8\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 2}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0?\)

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\)có từ \(5\) đến không quá \(8\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 2}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0?\)

A. \(6481\).  

B. \(2161\).  

C. \(2107.\)  

D. \(2160\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = {3^x} > 0\) thì ta có bất phương trình:

\((9t – \sqrt 3 )(t – y) < 0\) hay \((t – \frac{{\sqrt 3 }}{9})(t – y) < 0{\rm{ }}(*).\)

Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y > \frac{{\sqrt 3 }}{9}\), do đó \((*) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{9} < t < y\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{9} < {3^x} < y\) \( \Leftrightarrow \frac{{ – 3}}{2} < x < {\log _3}y\).

Nếu \({\log _3}y > 7\) thì \(x \in \{  – 1;0,1,2, \ldots ,7\} \) đều là nghiệm, không thỏa mãn.

Nếu \({\log _3}y \le 3\) thì \(x\) chỉ lấy các giá trị trong tập \(\left\{ { – 1;0;1;2} \right\}\), không thỏa mãn.

Suy ra \(3 < {\log _3}y \le 7\) hay \({3^3} < y \le {3^7}\)\( \Leftrightarrow 27 < y \le 2187\), vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y \in \{ 28,29, \ldots ,2187\} .\)

Vậy có tất cả \(2187 – 28 + 1 = 2160\) giá trị \(y\) thỏa mãn.