Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và hai điểm \(A\), \(B\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(AB = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(AB\).

A. \(\frac{3}{2}\). B. \(\frac{4}{3}\). C. \(\frac{3}{4}\). D. \(\frac{5}{6}\). Lời giải:

Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right)\) và \(B\left( {b;{b^2}} \right)\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(AB = 2\). Không mất tính tổng quát giả sử \(a < b\). Theo giả thiết ta có \(AB = 2\) nên \({\left( {b – a} \right)^2} + {\left( {{b^2} – {a^2}} \right)^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {b – a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b + a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(y = \left( {b + a} \right)x – ab\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(AB\) ta có \(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x – ab – {x^2}} \right]{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\left( {a + b} \right)\frac{{{x^2}}}{2} – abx – \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_a^b = \frac{{{{\left( {b – a} \right)}^3}}}{6}\). Mặt khác \({\left( {b – a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b + a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\) nên \({\left( {b – a} \right)^2} \le 4 \Leftrightarrow \left| {b – a} \right| = b – a \le 2\). Vậy \(S = \frac{{{{\left( {b – a} \right)}^3}}}{6} \le \frac{{{2^3}}}{6} = \frac{4}{3}\). Dấu \( = \) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b – a = 2\\{\left( {b – a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b + a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b – a = 2\\b + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { – 1;\,1} \right)\\B\left( {1;\,1} \right)\end{array} \right.\). Vậy giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(AB\) bằng \(\frac{4}{3}\).