Cho hàm số $f(x) = -x^4+2x^2-16$

Cho hàm số $f(x) = -x^4+2x^2-16$. Hãy xét tính đúng sai các khẳng định sau?

a) Hàm số $y= f(x) = -x^4+2x^2-16$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3, 6]$ bằng $-16$.

b) Đạo hàm $f^{\prime}(x) = -4x^3-4x$.

c) Phương trình $f^{\prime}(x)= 0$ có các nghiệm $x =1$; $x =0$; $x =-1$.

d) Tập xác định $\mathscr{D} = \mathbb{R}$.

Lời giải:
Hàm số đã cho là $f(x) = -x^4+2x^2-16$.
1. Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $\mathscr{D} = \mathbb{R}$ vì đây là hàm đa thức.
2. Đạo hàm của hàm số: $f^{\prime}(x) = \left(-x^4+2x^2-16\right)^{\prime} = -4x^3+4x$.
3. Giải phương trình $f^{\prime}(x)=0$:
$-4x^3+4x=0$
$-4x(x^2-1)=0$
$-4x(x-1)(x+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x =0\\ x =1\\ x =-1.\end{array}\right.$
4. Để tìm giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3, 6]$, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị trong đoạn và tại các điểm mút:
$f(-3) = -(-3)^4+2(-3)^2-16 = -81+18-16 = -79$.
$f(6) = -(6)^4+2(6)^2-16 = -1296+72-16 = -1240$.
$f(-1) = -(-1)^4+2(-1)^2-16 = -1+2-16 = -15$.
$f(0) = -(0)^4+2(0)^2-16 = -16$.
$f(1) = -(1)^4+2(1)^2-16 = -1+2-16 = -15$.
So sánh các giá trị này, ta thấy $\max_{x \in [-3, 6]} f(x) = -15$.
(Sai) Hàm số $y= f(x) = -x^4+2x^2-16$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3, 6]$ bằng $-16$.
(Vì): Hàm số $y= f(x) = -x^4+2x^2-16$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3, 6]$ bằng $-15$.
(Sai) Đạo hàm $f^{\prime}(x) = -4x^3-4x$.
(Vì): Đạo hàm của hàm số $f(x) = -x^4+2x^2-16$ là $f^{\prime}(x) = -4x^3+4x$.
(Đúng) Phương trình $f^{\prime}(x)= 0$ có các nghiệm $x =1$; $x =0$; $x =-1$.
(Vì): $f^{\prime}(x)= 0 \Leftrightarrow -4x^3+4x=0 \Leftrightarrow -4x(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x =1\\ x =0\\ x =-1.\end{array}\right.$
(Đúng) Tập xác định $\mathscr{D} = \mathbb{R}$.
(Vì): Tập xác định $\mathscr{D} = \mathbb{R}$.