Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + cx + 1\) và \(g\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng diện tích miền tô đậm bằng 2, với \(a\) và \(c\) là các số nguyên. Tính giá trị \(a.c\)?
Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về ứng dụng tích phân mức độ 3,4 – VẬN DỤNG
A. 2.
B. \( – 2\).
C. 1.
D. 0.
Lời giải:
Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right)\) đi qua điểm \(\left( {2\,;\,0} \right)\)\( \Rightarrow g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f\left( { – 1} \right) = 0 \Rightarrow – a – c + 1 = 0\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {a{x^3} + cx + 1} \right) = – \infty \) nên suy ra \(a < 0\).
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị \(f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\):
\(a{x^3} + cx + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {a{x^2} + c} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\a{x^2} + c = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị \(f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow – \frac{c}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow c > 0\) .
Khi đó \(a{x^2} + c = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { – \frac{c}{a}} \).
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị \(g\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right)\) và đường thẳng \(y = 1\):
\(a{\left( {1 – x} \right)^3} + c\left( {1 – x} \right) + 1 = 1 \Leftrightarrow \left( {1 – x} \right)\left[ {a{{\left( {1 – x} \right)}^2} + c} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\a{\left( {1 – x} \right)^2} + c = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị \(g\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Khi đó:
\(a{\left( {1 – x} \right)^2} + c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 – x = \sqrt { – \frac{c}{a}} \\1 – x = – \sqrt { – \frac{c}{a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 – \sqrt { – \frac{c}{a}} \\x = 1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} \end{array} \right.\).
Diện tích phần tô đậm: \(S = \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} + \int\limits_1^{1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \).
Xét \({I_1} = \int\limits_1^{1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \). Đặt \(t = 1 – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x\).
Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 0\), \(x = 1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} \Rightarrow t = – \sqrt { – \frac{c}{a}} \).
Suy ra
\({I_1} = \int\limits_1^{1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( t \right)} \right]} \left( { – {\rm{d}}t} \right) = – \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( t \right) – 1} \right]} {\rm{d}}t = – \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \)
Như vậy \(S = \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} – \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \).
Do hàm số \(f\left( x \right) – 1 = a{x^3} + cx\) là hàm số lẻ nên \( – \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \) suy ra
\(S = 2\int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \Rightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = 2 \Rightarrow \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left( {a{x^3} + cx} \right){\rm{d}}x} = 1 \Rightarrow \frac{{a{x^4}}}{4} + \frac{{c{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\sqrt { – \frac{c}{a}} }}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{a{{\left( {\sqrt { – \frac{c}{a}} } \right)}^4}}}{4} + \frac{{c{{\left( {\sqrt { – \frac{c}{a}} } \right)}^2}}}{2} = 1\\ \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{{4a}} – \frac{{{c^2}}}{{2a}} = 1 \Rightarrow – {c^2} = 4a\end{array}\)
Mà \( – a – c + 1 = 0\), nên \( – {c^2} = 4\left( {1 – c} \right) \Leftrightarrow {c^2} – 4c + 4 = 0 \Leftrightarrow c = 2 \Rightarrow a = 1 – 2 = – 1\).
Vậy \(ac = – 2\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời