Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y=\dfrac{12}{7-4\sin x}$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ là $M=4$; $m=\dfrac{4}{3}$

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y=\dfrac{12}{7-4\sin x}$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ là $M=4$; $m=\dfrac{4}{3}$.

b) Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1+{{\sin }^{4}}x}{2+{{\cos }^{2}}x}+\dfrac{1+{{\sin }^{2}}x}{2+{{\cos }^{4}}x}$ bằng 2.

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}.\sqrt{5-x}$ bằng $7\sqrt{2}-9$.

d) Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S=-\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+9t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $S$ (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $10$ giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là $25\left( \text{m/s} \right).$.

Lời giải: (a) Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ nên $t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$.
Khi đó hàm số trở thành: $f\left( t \right)=\dfrac{12}{7-4t}$ với $t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$
Ta có ${f}’\left( t \right)=\dfrac{48}{{{\left( 7-4t \right)}^{2}}}{>}0$, $\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$ nên hàm số đồng biến trên $\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$.
Do đó $M=\max\limits_{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=4$ và $m=\max\limits_{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}f\left( t \right)=f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{4}{3}$. Chọn S
(b) Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{1+{{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}{2+{{\cos }^{2}}x}+\dfrac{1+1-{{\cos }^{2}}x}{2+{{\cos }^{4}}x}=\dfrac{2-2{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x}{2+{{\cos }^{2}}x}+\dfrac{2-{{\cos }^{2}}x}{2+{{\cos }^{4}}x}$
Đặt ${{\cos }^{2}}x=t\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$. Khi đó ta có hàm số $f(t)=\dfrac{2-2t+{{t}^{2}}}{2+t}+\dfrac{2-t}{2+{{t}^{2}}}$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$.
Ycbt $\Leftrightarrow$ Tìm $\min\limits_{t\in \left[ 0;1 \right]}f\left( t \right)=?$
Dễ thấy $f(t)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. (1)
Ta có:
${f}'(t)={{\left( \dfrac{2-2t+{{t}^{2}}}{2+t}+\dfrac{2-t}{2+{{t}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\dfrac{\left( -2+2t \right)\left( 2+t \right)-\left( 2-2t+{{t}^{2}} \right)}{{{\left( 2+t \right)}^{2}}}+\dfrac{-\left( 2+{{t}^{2}} \right)-\left( 2-t \right)2t}{{{\left( 2+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{t}^{2}}+4t-6}{{{\left( 2+t \right)}^{2}}}+\dfrac{{{t}^{2}}-4t-2}{{{\left( 2+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( t+2 \right)}^{2}}-10}{{{\left( 2+t \right)}^{2}}}+\dfrac{{{\left( t-2 \right)}^{2}}-6}{{{\left( 2+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$.
Với $t\in \left[ 0;1 \right]$ thì $\dfrac{{{\left( t+2 \right)}^{2}}-10}{{{\left( 2+t \right)}^{2}}}{
$t\left( 1 \right)=t\left( 5 \right)=2$; $t\left( 3 \right)=2\sqrt{2}$.
Do đó: $x\in \left[ 1;5 \right]$ $\Rightarrow t\in \left[ 2;2\sqrt{2} \right]$.
$f\left( t \right)=t-\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}$; $t\in \left[ 2;2\sqrt{2} \right]$.
${f}’\left( t \right)=1-t{
Vậy $\max\limits_{D}y=\min\limits_{\left[ 2;2\sqrt{2} \right]}f\left( t \right)$ $=f\left( 2\sqrt{2} \right)$ $=2\sqrt{2}-2$. Chọn S
(d) Ta có $v={S}’=-{{t}^{2}}+8t+9,$ $t\in \left( 0;10 \right)$
${v}’=-2t+8$. Xét ${v}’=0\Rightarrow t=4\in \left( 0;10 \right)$
Bảng biến thiên:

Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là $25\left( \text{m/s} \right)$ tại tại $t=4.$ Chọn Đ
(Đúng) Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y=\dfrac{12}{7-4\sin x}$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ là $M=4$; $m=\dfrac{4}{3}$.
(Vì): Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ nên $t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$.
Khi đó hàm số trở thành: $f\left( t \right)=\dfrac{12}{7-4t}$ với $t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$.
Ta có ${f}’\left( t \right)=\dfrac{48}{{{\left( 7-4t \right)}^{2}}}{>}0$, $\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$ nên hàm số đồng biến trên $\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$.
Do đó $M=\max\limits_{\left[ -\frac{1}{2};1 \right]}f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{12}{7-4}=4$ và $m=\min\limits_{\left[ -\frac{1}{2};1 \right]}f\left( t \right)=f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{12}{7-4\left( -\frac{1}{2} \right)}=\dfrac{12}{7+2}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$.
(Đúng) Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1+{{\sin }^{4}}x}{2+{{\cos }^{2}}x}+\dfrac{1+{{\sin }^{2}}x}{2+{{\cos }^{4}}x}$ bằng 2
(Vì): Đặt ${{\cos }^{2}}x=t\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$. Khi đó $f(t)=\dfrac{2-2t+{{t}^{2}}}{2+t}+\dfrac{2-t}{2+{{t}^{2}}}$.
Ta có ${f}'(t)=\dfrac{{{t}^{2}}+4t-6}{{{\left( 2+t \right)}^{2}}}+\dfrac{{{t}^{2}}-4t-2}{{{\left( 2+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}$.
Với $t\in \left[ 0;1 \right]$ thì ${{t}^{2}}+4t-6 {
Nên ${f}'(t){
Suy ra hàm số $f(t)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$.
Do đó $\max\limits_{x}f\left( x \right)=\max\limits_{t\in \left[ 0;1 \right]}f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=\dfrac{1+0}{2+0}+\dfrac{1+0}{2+0}=1+1=2$.
(Sai) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}.\sqrt{5-x}$ bằng $7\sqrt{2}-9$
(Vì): TXĐ: $D=\left[ 1;5 \right]$.
Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$. Khi đó $\sqrt{x-1}.\sqrt{5-x}=\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}$.
Phạm vi của $t$: $t'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{5-x}}$. $t'(x)=0 \Leftrightarrow x=3$.
$t(1)=2$, $t(5)=2$, $t(3)=2\sqrt{2}$. Vậy $t\in \left[ 2;2\sqrt{2} \right]$.
Hàm số trở thành $f\left( t \right)=t-\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}$ với $t\in \left[ 2;2\sqrt{2} \right]$.
${f}’\left( t \right)=1-t$. Vì $t\in \left[ 2;2\sqrt{2} \right]$ nên $t\ge 2 \Rightarrow 1-t \le -1 {
Do đó $f(t)$ nghịch biến trên $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\min\limits_{y}=\min\limits_{\left[ 2;2\sqrt{2} \right]}f\left( t \right)=f\left( 2\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-\dfrac{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-4}{2}=2\sqrt{2}-2$. Giá trị $7\sqrt{2}-9$ là sai.
(Đúng) Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S=-\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+9t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $S$ (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $10$ giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là $25\left( \text{m/s} \right).$
(Vì): Ta có vận tốc $v(t) = S'(t) = -\dfrac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 \cdot 2t + 9 = -t^2+8t+9$.
Vì $t$ là khoảng thời gian nên $t \ge 0$. Khoảng thời gian $10$ giây nên $t \in [0;10]$.
Đạo hàm của vận tốc: $v'(t) = -2t+8$. Cho $v'(t)=0 \Rightarrow t=4$.
Ta xét các giá trị của $v(t)$ tại các điểm mút và điểm cực trị trong khoảng $[0;10]$:
$v(0) = -0^2+8(0)+9 = 9$.
$v(4) = -4^2+8(4)+9 = -16+32+9 = 25$.
$v(10) = -10^2+8(10)+9 = -100+80+9 = -11$.
So sánh các giá trị, vận tốc lớn nhất là $25\left( \text{m/s} \right)$, đạt được tại $t=4$ giây.