Bài toán gốc
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(5)=2,F(10)=3$. Tính $\int\limits_{5}^{10} {f(x)\mathrm{d}x}$.
A. ${-1}$. *
B. ${1}$.
C. ${6}$.
D. ${5}$.
Lời giải:
$\int\limits_{5}^{10} {f(x)\mathrm{d}x}=F(10)-F(5)=3-2=1$ .
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính tích phân xác định $\int_{a}^{b} f(x) dx$ khi biết giá trị của một nguyên hàm $F(x)$ tại hai cận $a$ và $b$. Phương pháp giải là áp dụng Định lý cơ bản của Giải tích (công thức Newton-Leibniz):
$$\int\limits_{a}^{b} {f(x)\mathrm{d}x} = F(b) – F(a)$$
Trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.
Bài toán tương tự
Câu 1. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(1)=4$ và $F(3)=-1$. Tính tích phân $I = \int\limits_{1}^{3} {f(x)\mathrm{d}x}$.
A. 5.
B. -5.
C. 3.
D. 4.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $I = F(3) – F(1) = -1 – 4 = -5$.
Câu 2. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(2)=7$ và $F(6)=15$. Tính giá trị của $\int\limits_{2}^{6} {f(x)\mathrm{d}x}$.
A. 8.
B. 22.
C. -8.
D. 10.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $\int\limits_{2}^{6} {f(x)\mathrm{d}x} = F(6) – F(2) = 15 – 7 = 8$.
Câu 3. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(0)=1$ và $F(4)=9$. Tính $J = \int\limits_{4}^{0} {f(x)\mathrm{d}x}$.
A. 8.
B. -8.
C. 10.
D. -10.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $J = \int\limits_{4}^{0} {f(x)\mathrm{d}x} = F(0) – F(4) = 1 – 9 = -8$.
Câu 4. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(-2)= -3$ và $F(1) = 5$. Tính $K = \int\limits_{-2}^{1} {f(x)\mathrm{d}x}$.
A. 2.
B. 8.
C. -8.
D. -2.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $K = F(1) – F(-2) = 5 – (-3) = 5 + 3 = 8$.
Câu 5. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(e)=6$ và $F(1)=2$. Tính giá trị của $\int\limits_{1}^{e} {f(x)\mathrm{d}x}$.
A. 4.
B. 8.
C. $e-4$.
D. $6e$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $\int\limits_{1}^{e} {f(x)\mathrm{d}x} = F(e) – F(1) = 6 – 2 = 4$.