Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai

Dạng toán  Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì:
a) Phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm.
b) Phương trình $\left( {{m}^{2}}+5 \right){{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}m-2 \right)x+1=0$ luôn vô nghiệm.

a)
Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm.
Với $m\ne 0$, ta có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m$ $=9{{m}^{2}}+8m+4.$
Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0$, $\Delta’_{m}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Ta có $\Delta ={{\left( \sqrt{3}m-2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+5 \right)$ $=-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-16.$
Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0$, $\Delta’_{m}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m.$

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:
a) $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1.$
b) $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5.$

a)
Với $m=0$ thì $f\left( x \right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $f\left( -2 \right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 0$ thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai, do đó: $f\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m<0 \\
\Delta =1+4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<0 \\
m>-\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4}<m<0.$
Vậy với $-\frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.
b)
Với $m=4$ thì $g\left( x \right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 4$ thì $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$ là tam thức bậc hai, do đó: $g\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m-4<0 \\
\Delta’={{\left( m-4 \right)}^{2}}-\left( m-4 \right)\left( m-5 \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<4 \\
m-4<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m<4.$
Vậy với $m\le 4$ thì biểu thức $g\left( x \right)$ luôn âm.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:
a) $h\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}.$
b) $k\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1.$

a) Tam thức $-4{{x}^{2}}+5x-2$ có $a=-4<0$, $\Delta =-7<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+5x-2<0$, $\forall x.$
Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}$ luôn âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-1<0 \\
\Delta’=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( 1-4{{m}^{2}} \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 8m+5<0$ $\Leftrightarrow m<-\frac{5}{8}.$
Vậy với $m<-\frac{5}{8}$ thì biểu thức $h\left( x \right)$ luôn dương.
b) Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1>0$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}>1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m>0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=1>0 \\
\Delta =1-4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}.$
Vậy với $m>\frac{1}{4}$ thì biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m.$
a) $y=\frac{mx}{\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2}.$
b) $y=\sqrt{\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}}.$

a) Điều kiện xác định: $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2$, ta có: $a=2{{m}^{2}}+1>0$, $\Delta’=4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)=-2<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Do đó với mọi $m$ ta có $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1$, ta có: ${{a}_{f}}=2>0$, ${{\Delta }_{f}}’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$ $=-{{m}^{2}}+2m-1$ $=-{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(1).$
Xét tam thức bậc hai $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2.$
+ Với $m=0$ ta có $g\left( x \right)=2>0.$
+ Với $m\ne 0$ ta có ${{a}_{g}}={{m}^{2}}>0$, ${{\Delta }_{g}}’={{m}^{2}}-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra với mọi $m$ thì $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$