Dạng toán Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1 . Cho hai số thực $x$, $y$. Chứng minh rằng $3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-2x-2xy+1>0.$
Viết bất đẳng thức lại dưới dạng $3{{x}^{2}}-2(y+1)x+5{{y}^{2}}+1>0.$
Đặt $f(x)=3{{x}^{2}}-2(y+1)x+5{{y}^{2}}+1$ và xem $y$ là tham số khi đó $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số ${{a}_{x}}=3>0$ và ${{\Delta }_{x}}’={{(y+1)}^{2}}-3(5{{y}^{2}}+1)$ $=-14{{y}^{2}}+2y-2.$
Xét tam thức $g\left( y \right)=-14{{y}^{2}}+2y-2$ có hệ số ${{a}_{y}}=-14<0$ và $\Delta {{‘}_{y}}=-27<0.$
Suy ra $\Delta {{‘}_{x}}<0.$
Do đó $f\left( x \right)<0$ với mọi $x$, $y.$
Ví dụ 2 . Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: ${{a}^{2}}x+{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z=0$. Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\le 0.$
+ Nếu trong ba số $x$, $y$, $z$ có một số bằng $0$, chẳng hạn $x=0$ $\Rightarrow {{b}^{2}}y=-{{c}^{2}}z.$
Suy ra $xy+yz+zx=yz=-\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}{{z}^{2}}\le 0.$
+ Nếu $x,y,z\ne 0$. Do ${{a}^{2}}x+{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z=0$ $\Rightarrow x=-\frac{{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z}{{{a}^{2}}}.$
Suy ra $ xy+yz+zx\le 0$ $\Leftrightarrow -(y+z)\frac{{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z}{{{a}^{2}}}+yz\le 0$ $\Leftrightarrow f(y)={{b}^{2}}{{y}^{2}}+({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})yz+{{c}^{2}}{{z}^{2}}\ge 0$.
Tam thức $f(y)$ có ${{\Delta }_{y}}=\left[ {{({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right]{{z}^{2}}.$
Vì $\left\{ \begin{align}
& |b-c|<a \\
& b+c>a \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow -2bc<{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}<2bc$ $\Rightarrow {{({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}<4{{c}^{2}}{{b}^{2}}$ $\Rightarrow {{\Delta }_{y}}\le 0$, $\forall z$ $\Rightarrow f(y)\ge 0$, $\forall y,z.$
Trả lời