Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Dạng toán  Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 1 . Cho hai số thực $x$, $y$. Chứng minh rằng $3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-2x-2xy+1>0.$

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng $3{{x}^{2}}-2(y+1)x+5{{y}^{2}}+1>0.$
Đặt $f(x)=3{{x}^{2}}-2(y+1)x+5{{y}^{2}}+1$ và xem $y$ là tham số khi đó $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số ${{a}_{x}}=3>0$ và ${{\Delta }_{x}}’={{(y+1)}^{2}}-3(5{{y}^{2}}+1)$ $=-14{{y}^{2}}+2y-2.$
Xét tam thức $g\left( y \right)=-14{{y}^{2}}+2y-2$ có hệ số ${{a}_{y}}=-14<0$ và $\Delta {{‘}_{y}}=-27<0.$
Suy ra $\Delta {{‘}_{x}}<0.$
Do đó $f\left( x \right)<0$ với mọi $x$, $y.$

Ví dụ 2 . Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: ${{a}^{2}}x+{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z=0$. Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\le 0.$

+ Nếu trong ba số $x$, $y$, $z$ có một số bằng $0$, chẳng hạn $x=0$ $\Rightarrow {{b}^{2}}y=-{{c}^{2}}z.$
Suy ra $xy+yz+zx=yz=-\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}{{z}^{2}}\le 0.$
+ Nếu $x,y,z\ne 0$. Do ${{a}^{2}}x+{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z=0$ $\Rightarrow x=-\frac{{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z}{{{a}^{2}}}.$
Suy ra $ xy+yz+zx\le 0$ $\Leftrightarrow -(y+z)\frac{{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z}{{{a}^{2}}}+yz\le 0$ $\Leftrightarrow f(y)={{b}^{2}}{{y}^{2}}+({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})yz+{{c}^{2}}{{z}^{2}}\ge 0$.
Tam thức $f(y)$ có ${{\Delta }_{y}}=\left[ {{({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right]{{z}^{2}}.$
Vì $\left\{ \begin{align}
& |b-c|<a \\
& b+c>a \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow -2bc<{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}<2bc$ $\Rightarrow {{({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}<4{{c}^{2}}{{b}^{2}}$ $\Rightarrow {{\Delta }_{y}}\le 0$, $\forall z$ $\Rightarrow f(y)\ge 0$, $\forall y,z.$