Giải bất phương trình bậc hai

Dạng toán 1. Giải bất phương trình bậc hai.

Ví dụ 1 . Giải các bất phương trình sau:
a) $-3{{x}^{2}}+2x+1<0.$
b) ${{x}^{2}}+x-12<0.$
c) $5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9>0.$
d) $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0.$

a) Tam thức $f(x)=-3{{x}^{2}}+2x+1$ có $a=-3<0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-\frac{1}{3}$, ${{x}_{2}}=1.$
($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).
Suy ra $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$ $\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>1.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=(-\infty ;-\frac{1}{3})\cup (1;+\infty ).$
b) Tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}+x-12$ có $a=1>0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-4$, ${{x}_{2}}=3.$
($f(x)$ trái dấu với hệ số $a$).
Suy ra ${{x}^{2}}+x-12<0$ $\Leftrightarrow -4<x<3.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left( -4;3 \right).$
c) Tam thức $f\left( x \right)=5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9$ có $a=5>0$ và $\Delta =0.$
($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).
Suy ra $5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9>0$ $\Leftrightarrow x\ne \frac{3\sqrt{5}}{5}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3\sqrt{5}}{5} \right\}.$
d) Tam thức $f\left( x \right)=-36{{x}^{2}}+12x-1$ có $a=-36<0$ và $\Delta =0.$
$f\left( x \right)$ âm với $\forall x\ne \frac{1}{6}$ và $f\left( \frac{1}{6} \right)=0.$
Suy ra $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left\{ \frac{1}{6} \right\}.$

Ví dụ 2 . Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
a) ${{x}^{2}}-mx+m+3=0.$
b) $(1+m){{x}^{2}}-2mx+2m=0.$

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-12\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ge 6 \\
m\le -2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy với $m\in (-\infty ;-2]\cup [6;+\infty )$ thì phương trình có nghiệm.
b)
+ Với $m=-1$ phương trình trở thành $2x-2=0$ $\Leftrightarrow x=1$ suy ra $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m\ne -1$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta’ \ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m\left( 1+m \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m\le 0$ $\Leftrightarrow -2\le m\le 0.$
Vậy với $-2\le m\le 0$ thì phương trình có nghiệm.

Ví dụ 3 . Tìm $m$ để mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình $3{{x}^{2}}-2\left( m+5 \right)x-{{m}^{2}}+2m+8\le 0.$

Ta có $3{{x}^{2}}-2\left( m+5 \right)x-{{m}^{2}}+2m+8=0$ $\Leftrightarrow x=m+2$ hoặc $x=\frac{4-m}{3}.$
+ Với $m+2>\frac{4-m}{3}$ $\Leftrightarrow 3m+6>4-m$ $\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$, ta có:
Bất phương trình $\Leftrightarrow \frac{4-m}{3}\le x\le m+2.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ \frac{4-m}{3};m+2 \right].$
Suy ra mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $\left[ -1;1 \right]\subset \left[ \frac{4-m}{3};m+2 \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\ge \frac{4-m}{3} \\
1\le m+2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ge 7 \\
m\ge -1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m\ge 7.$
Kết hợp với điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ ta có $m\ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m+2<\frac{4-m}{3}$ $\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, ta có:
Bất phương trình $\Leftrightarrow m+2\le x\le \frac{4-m}{3}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ m+2;\frac{4-m}{3} \right].$
Suy ra mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $\left[ -1;1 \right]\subset \left[ m+2;\frac{4-m}{3} \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\ge m+2 \\
1\le \frac{4-m}{3} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\le -3 \\
m\le 1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m\le -3.$
Kết hợp với điều kiện $m<-\frac{1}{2}$ ta có $m\le -3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m=-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ nên $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [7;+\infty )$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4 . Giải và biện luận bất phương trình $(m+1){{x}^{2}}-2(2m-1)x-4m+2<0.$

Với $m=-1$, bất phương trình trở thành $6x+6<0$ $\Leftrightarrow x<-1.$
Với $m\ne -1$ ta có $g(x)=(m+1){{x}^{2}}-2(2m-1)x-4m+2$ là tam thức bậc hai có: $a=m+1$ $\Delta’=8{{m}^{2}}-2m-1.$
Bảng xét dấu:

+ Xét $-\frac{1}{4}\le m\le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta’\le 0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow g(x)\ge 0$, $\forall x\in R$ $\Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm.
+ Xét $\left[ \begin{align}
& m>\frac{1}{2} \\
& -1<m<-\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta’>0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ $S=({{x}_{1}};{{x}_{2}})$, với: ${{x}_{1}}=\frac{2m-1-\sqrt{(2m-1)(m+1)}}{m+1}$, ${{x}_{2}}=\frac{2m-1+\sqrt{(2m-1)(m+1)}}{m+1}.$
+ Xét $m<-1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a<0 \\
& \Delta’>0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ $S=(-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$
Kết luận:
$m=-1$ bất phương trình có tập nghiệm là $\text{S}=\left( -\infty ;-1 \right).$
$-\frac{1}{4}\le m\le \frac{1}{2}$ bất phương trình có tập nghiệm là $\text{S}=\varnothing .$
$\left[ \begin{align}
& m>\frac{1}{2} \\
& -1<m<-\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$ bất phương trình có tập nghiệm là $S=({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$
$m<-1$ bất phương trình có tập nghiệm là $S=(-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$