Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ 1 . Giải các hệ bất phương trình sau:
a) $\left\{ \begin{align}
& 2{{x}^{2}}+9x+7>0 \\
& {{x}^{2}}+x-6<0 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}
& 2{{x}^{2}}+x-6>0 \\
& 3{{x}^{2}}-10x+3\ge 0 \\
\end{align} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix}
-{{x}^{2}}+5x-4\ge 0 \\
{{x}^{2}}+x-13\le 0 \\
\end{matrix} \right.$
d) $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+4x+3\ge 0 \\
& 2{{x}^{2}}-x-10\le 0 \\
& 2{{x}^{2}}-5x+3>0 \\
\end{align} \right.$

a) Ta có $\left\{ \begin{align}
& 2{{x}^{2}}+9x+7>0 \\
& {{x}^{2}}+x-6<0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\le -\frac{7}{2} \\
\end{matrix} \right. \\
-3<x<2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -1<x<2.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=\left( -1;2 \right).$
b) Ta có $\left\{ \begin{align}
& 2{{x}^{2}}+x-6\ge 0 \\
& 3{{x}^{2}}-10x+3>0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
x\ge \frac{3}{2} \\
x\le -2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left[ \begin{matrix}
x>3 \\
x<\frac{1}{3} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x>3 \\
x\le -2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=(-\infty ;-2]\cup (3;+\infty ).$
c) Ta có $\left\{ \begin{matrix}
-{{x}^{2}}+5x-4\ge 0 \\
{{x}^{2}}+x-13\le 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1\le x\le 4 \\
\frac{-1-\sqrt{53}}{2}\le x\le \frac{-1+\sqrt{53}}{2} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 1\le x\le \frac{-1+\sqrt{53}}{2}.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=\left[ 1;\frac{-1+\sqrt{53}}{2} \right].$
d) Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+4x+3\ge 0 \\
& 2{{x}^{2}}-x-10\le 0 \\
& 2{{x}^{2}}-5x+3\le 0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \left[ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\le -3 \\
\end{matrix} \right. \\
& -2\le x\le \frac{5}{2} \\
& 1\le x\le \frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow 1\le x\le \frac{3}{2}.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=\left[ 1;\frac{3}{2} \right].$

Ví dụ 2 . Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
m{{x}^{2}}-x-5\le 0 \\
\left( 1-m \right){{x}^{2}}+2mx+m+2\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
a) Giải hệ bất phương trình khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$

a) Khi $m=1$ hệ bất phương trình trở thành:
$\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-x-5\le 0 \\
2x+3\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{1-\sqrt{21}}{2}\le x\le \frac{1+\sqrt{21}}{2} \\
x\ge -\frac{3}{2} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{21}}{2}\le x\le \frac{1+\sqrt{21}}{2}.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=\left[ \frac{1-\sqrt{21}}{2};\frac{1+\sqrt{21}}{2} \right].$
b)
+ Khi $m=0$ hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
-x-5\le 0 \\
{{x}^{2}}+2\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ do đó $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Khi $m=1$ theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Khi $\left\{ \begin{matrix}
m\ne 0 \\
m\ne 1 \\
\end{matrix} \right.$ ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi các bất phương trình trong hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
m<0 \\
{{\Delta }_{1}}=1+20m\le 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
1-m>0 \\
\Delta {{‘}_{2}}={{m}^{2}}-\left( 1-m \right)\left( m+2 \right)\le 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& m<0 \\
& m\le -\frac{1}{20} \\
& m<1 \\
& 2{{m}^{2}}+m-2\le 0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& m<0 \\
& m\le -\frac{1}{20} \\
& m<1 \\
& \frac{-1-\sqrt{17}}{4}\le m\le \frac{-1+\sqrt{17}}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{-1-\sqrt{17}}{4}\le m\le -\frac{1}{20}.$
Vậy $\frac{-1-\sqrt{17}}{4}\le m\le -\frac{1}{20}$ là giá trị cần tìm.