Giải SBT Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ – Chương 2 – Hình học 10

Bài 2.1 trang 81 SBT Hình 10

Với giá trị nào của góc \(\alpha ({0^0} \le \alpha  \le {180^0})\) thì:

a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu?

b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu?

c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu?

d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu?

Giải

a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha  < {90^0}\)

b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha  < {180^0}\)

c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha  < {90^0}\)

d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha  < {180^0}\)

Bài 2.2 – SBT Toán hình lớp 10

Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây:

a) \({120^0}\)

b) \({150^0}\)

c) \({135^0}\)

Đáp án

a)

\(\eqalign{
& \sin {120^0} = {{\sqrt 3 } \over 2};cos{120^0} = – {1 \over 2}; \cr
& \tan {120^0} = – \sqrt 3 ;\cot {120^0} = – {1 \over {\sqrt 3 }} \cr}\)

b)

\(\eqalign{
& \sin {150^0} = {1 \over 2};\cos {150^0} = – {{\sqrt 3 } \over 2}; \cr
& \tan {150^0} = – {{\sqrt 3 } \over 3};cot{150^0} = – \sqrt 3 \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& \sin {135^0} = {{\sqrt 2 } \over 2};\cos {135^0} = – {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
& \tan {135^0} = – 1;\cot {135^0} = – 1 \cr} \)

Bài 2.3 trang 81

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(2\sin {30^0} + 3\cos {45^0} – \sin {60^0}\)

b) \(2\cos {30^0} + 3\sin {45^0} – \cos {60^0}\)

Gợi ý làm bài

a) \(2.{1 \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 3} = 1 + {{3\sqrt 2  – \sqrt 3 } \over 3}\)

b) \(2.{{\sqrt 3 } \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} – {1 \over 2} = {{2\sqrt 3  + 3\sqrt 2  – 1} \over 2}\)

Bài 2.4 trang 81 Sách bài tập Toán 10

Rút gọn biểu thức:

a) \(4{a^2}{\cos ^2}{60^0} + 2ab.{\cos ^2}{180^0} + {4 \over 3}{b^2}\cos {60^0}\)

b) \((a\sin {90^0} + b\tan {45^0})(a\cos {0^0} + b\cos {180^0})\)

Đáp án

a) \(\eqalign{
& 4{a^2}.{1 \over 4} + 2ab.1 + {4 \over 3}{b^2}.{3 \over 4} \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2} \cr} \)

b) \(\eqalign{
& (a.1 + b.1)(a.1 + b.( – 1)) \cr
& = (a + b)(a – b) = {a^2} – {b^2} \cr} \)

Bài 2.5 trang 81

Hãy tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây:

a) \(A = {\cos ^2}{30^0} – {\sin ^2}{30^0}\) và \(B = \cos {60^0} + \sin {45^0}\)

b) \(C = {{2\tan {{30}^0}} \over {1 – {{\tan }^2}{{30}^0}}}\) và \(D = ( – \tan {135^0}).tan{60^0}\)

Lời giải

a) \(A = \cos _{}^230_{}^ \circ  – \sin _{}^230_{}^ \circ  = {1 \over 2}\)

và \(B = \cos 60_{}^ \circ  + \sin 45_{}^ \circ  = {{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy A<B.

b) \(C = {{2\tan 30_{}^o} \over {1 – \tan _{}^230_{}^o}} = \tan (30_{}^o + 30_{}^o) = \tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)

\(D = ( – \tan 135_{}^o).tan60_{}^o = \tan 45_{}^o.\tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)

Vậy C = D

Bài 2.6 trang 82 SBT Toán Hình 10

Cho \(\sin \alpha  = {1 \over 4}\) với \({90^0} < \alpha  < {180^0}\). Tính \(\cos \alpha \) và \(\tan \alpha \)

Đáp án

Ta có: \(\left| {\cos \alpha } \right| = \sqrt {1 – \sin _{}^2\alpha }  = \sqrt {1 – \left( {{1 \over 4}} \right)_{}^2}  = {{\sqrt {15} } \over 4}\)

Do

\(\eqalign{
& 90_{}^o < \alpha < 180_{}^o \Rightarrow \cos \alpha < 0 \cr
& \Rightarrow \cos \alpha = – {{\sqrt {15} } \over 4} \cr
& \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = – {{\sqrt {15} } \over {15}} \cr} \)

Bài 2.7

Cho \(\cos \alpha  =  – {{\sqrt 2 } \over 4}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \)

Bài làm

Vì \(\cos \alpha  < 0\) nên \(90_{}^o < \alpha  < 180_{}^o \Rightarrow \sin \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \sin \alpha = \sqrt {1 – \cos _{}^2\alpha } = \sqrt {1 – \left( { – {{\sqrt 2 } \over 4}} \right)_{}^2} = {{\sqrt {14} } \over 4} \cr
& \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = – \sqrt 7 \cr} \)

Bài 2.8 trang 82 Sách bài tập hình 10

Cho \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \) với \({0^0} < \alpha  < {90^0}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \)

HD giải

Do \(0_{}^o < \alpha  < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + \tan _{}^2\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + (2\sqrt 2 )_{}^2} }} = {1 \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr} \)

Bài 2.9 trang 82

Biết \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha  – \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }}\)

Bài giải

Do \(\tan \alpha  = \sqrt 2  > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha  < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

\(A = {{3\sin \alpha  – \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }} = 7 – 4\sqrt 2 \)

Bài 2.10

Biết \(\sin \alpha  = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha  – \tan \alpha } \over {\cot \alpha  + \tan \alpha }}\)

Lời giải

\({\cot ^2}\alpha  = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} – 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} – 1 = {5 \over 4}\)

\(\eqalign{
& B = {{\cot \alpha – \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha – {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
& = {{\cot _{}^2\alpha – 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} – 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)

Bài 2.11

Chứng minh rằng với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) ta có:

a) \({(\sin x + \cos x)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)

b) \({(\sin x – \cos x)^2} = 1 – 2\sin x\cos x\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Đáp án

a)

\(\eqalign{
& {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \)

b)

\(\eqalign{
& {(\sin x – \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x – 2\sin x\cos x \cr
& = 1 – 2\sin x\cos x \cr} \)

\(\eqalign{
& c){\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
& = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \)

Giải bài 2.12 trang 82 hình học 10

Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha \)

a) \(A = {(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha  – \cos \alpha )^2}\)

b) \(B = {\sin ^4}\alpha  – {\cos ^4}\alpha  – 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

Hướng dẫn làm bài

a) \(A = {(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha  – \cos \alpha )^2}\)

\(= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  + 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha \)

= 2

b) \(B = {\sin ^4}\alpha  – {\cos ^4}\alpha  – 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

\( = ({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha  – {\cos ^2}\alpha ) – 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

\( = 1[{\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\alpha ){\rm{]}} – 2{\sin ^2}\alpha  + 1 = 0\)