Giải SBT Bài 20 Chương 7 – SBT Toán 10 KNTT

GIẢI CHI TIẾT Giải SBT Bài 20 Chương 7 – SBT Toán 10 KNTT
============

Giải bài 7.10 trang 37 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

\({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) vô nghiệm.

\({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của m và k lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;2} \right)\)

Ta thấy \(\overrightarrow {{n_2}}  = 2\overrightarrow {{n_1}} \) à Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét \(A\left( {2;0} \right)\) thuộc m, ta thấy A cũng thuộc k à m và k trùng nhau

b) Vectơ chỉ phương của a và b lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;0} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1} \right)\) à Hai đường thẳng cắt nhau

c) Vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; – 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{v_1}}  = \left( {2;1} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là \(\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {2;1} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét \(A\left( {1;0} \right)\) thuộc \({d_1}\), ta thấy A không thuộc \({d_2}\) \(\Rightarrow \) Hai đường thẳng này song song với nhau

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.11 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

\(\left( {a;b} \right)\) và \(\left( {c;d} \right)\) cùng là vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Góc giữa hai đường thẳng này được tính thông qua công thức:  \(cos\varphi  = \frac{{\left| {ac + bd} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1; – 1} \right)\)

\(cos\varphi  = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\)

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {1; – 3} \right)\)

\(cos\varphi  = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 \sqrt {10} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi  = {60^ \circ }\)

c) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {1; – \sqrt 3 } \right)\)

\(cos\varphi  = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .\left( { – \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{2}{{2.2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi  = {60^ \circ }\) 

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.12 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

+ Xét vị trí các đường thẳng qua các cặp vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng. Tìm giao điểm nếu có bằng cách xét phương trình hoành độ

+ Gọi \({k_1}\) và \({k_2}\) là hệ số góc của hai đường thẳng, ta có \(\tan \alpha  = \left| {\frac{{{k_1} – {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|\)

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của d và k lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng cắt nhau

Tìm giao điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\2x + 5y – 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { – 1;1} \right)\)

b) Gọi \({k_1}\) và \({k_2}\) là hệ số góc của hai đường thẳng

+ \(d:2x + y + 1 = 0 \Rightarrow y =  – 2x – 1 \Rightarrow {k_1} =  – 2\)

+ \(k:2x + 5y – 3 = 0 \Rightarrow y =  – \frac{2}{5}x + \frac{3}{5} \Rightarrow {k_1} =  – \frac{2}{5}\)

+ Ta có: \(\tan \alpha  = \left| {\frac{{{k_1} – {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| = \left| {\frac{{ – 2 + \frac{2}{5}}}{{1 + \frac{4}{5}}}} \right| = \frac{8}{9}\) 

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.13 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

+ M thuộc Ox nên \(M\left( {a;0} \right)\)

+ Khoảng cách từ M đến \(\Delta \) là: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3a + 0 – 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {3a – 3} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \\ \Rightarrow \left| {3a – 3} \right| = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{13}}{3}\\a = \frac{{ – 7}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {\frac{{13}}{3};0} \right)\\M\left( {\frac{{ – 7}}{3};0} \right)\end{array} \right.\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.14 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi tổn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow u \), hay

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số).

Lời giải chi tiết

a) d song song với đường thẳng \(\Delta \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {2;1} \right)\)

d đi qua điểm \(A\left( {3;1} \right)\) có \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow d:2\left( {x – 3} \right) + 1\left( {y – 1} \right) = 0 \Rightarrow d:2x + y – 7 = 0\)

b) d vuông với đường thẳng \(\Delta \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{v_d}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; – 2} \right)\)

d đi qua điểm \(B\left( { – 1;0} \right)\) có \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; – 2} \right) \Rightarrow d:1\left( {x + 1} \right) – 2\left( {y – 0} \right) = 0 \Rightarrow d:x – 2y + 1 = 0\)

c) Đường thẳng a song song với đường thẳng \(\Delta \) \( \Rightarrow a:2x + y + c = 0\) với \(c \ne  – 5\)

O cách a một khoảng là \(\sqrt 5  \Rightarrow \frac{{\left| {2.0 + 0 + c} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} \Rightarrow \left| c \right| = 5 \Rightarrow c =  \pm 5\)

\( \Rightarrow a:2x + y + 5 = 0\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.15 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

+ Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC

+ Diện tích ABC là \(S = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC\)

+ Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC qua công thức \(S = pr\) trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC

Lời giải chi tiết

a) Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC

+ Viết phương trình đường thẳng BC: có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC}  = \left( { – 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\) và BC đi qua \(C\left( {0; – 1} \right)\):

\(BC:1\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow x + 2y + 2 = 0\)

+ Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 + 2\left( { – 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

b) \(\overrightarrow {BC}  = \left( { – 2;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

\(S = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5  = 1\)

c) \(S = pr\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

+ \(a = BC = \sqrt 5 \)

+ \(b = AC = \sqrt {{2^2} + {0^2}}  = 2\)

+ \(c = AB = \sqrt {{0^2} + {1^2}}  = 1\)

\( \Rightarrow p = \frac{{\sqrt 5  + 1 + 2}}{2} = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{2} \Rightarrow r = 1:\frac{{\sqrt 5  + 3}}{2} = \frac{2}{{\sqrt 5  + 3}} = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.16 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

+ Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}}  = \overrightarrow {{n_d}} \)

+ Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’

Lời giải chi tiết

a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có: \( – 2 – 2.2 + 1 =  – 5 \ne 0\) nên điểm A không thuộc đường thẳng d

b) Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; – 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;1} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { – 2;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;1} \right)\): \(AH:2\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y – 2} \right) = 0 \Rightarrow AH:2x + y + 2 = 0\)

+ \(H = AH \cap d \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x – 2y + 1 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { – 1;0} \right)\)

c) Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’

Suy ra \(A’\left( {2.\left( { – 1} \right) + 2;2.0 – 2} \right) \Rightarrow A’\left( {0; – 2} \right)\) 

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.17 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

+ Thay từng điểm A, B vào đường thẳng d. Tích nhận được là số dương thì hai điểm nằm cùng phía với đường thẳng d. Tích nhận được là số âm thì hai đường thẳng nằm khác phía với đường thẳng d.

+ AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA’ + MB \ge A’B\).

Dấu bằng xảy ra khi \(M = A’B \cap d\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left( { – 3 + 0 – 1} \right)\left( {1 – 2 – 1} \right) = 8 > 0\) nên hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d

b) AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA’ + MB \ge A’B\).

Dấu bằng xảy ra khi \(M = A’B \cap d\)

+ Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {1; – 1} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { – 3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {1; – 1} \right)\): \(AH:1\left( {x + 3} \right) – 1\left( {y – 0} \right) = 0 \Rightarrow AH:x – y + 3 = 0\)

+ \(H = AH \cap d \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x + y – 1 = 0\\x – y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { – 1;2} \right)\)

+ Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’

Suy ra \(A’\left( {2.\left( { – 1} \right) + 3;2.2 – 0} \right) \Rightarrow A’\left( {1;4} \right)\)

+ Viết phương trình đưởng thẳng A’B: \(\overrightarrow {A’B}  = \left( {0;6} \right) = \left( {0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)\)

\(A’B:x – 1 = 0\)

+ \(A’B \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x + y – 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\) 

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

Giải bài 7.18 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

Gọi \(x,y\) lần lượt là số chiếc bánh mì và chai nước khoáng mà lớp Việt định mua để bán, Khi đó từ giả thiết ta có: \(x,y \in N\)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 200\\15000x + 5000y \le 2000000\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \le 200\\3x + y \le 400\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

+ Nếu bán hết thì lợi nhuận lớp Việt có được là \(T = 5x + 3y\) (nghìn đồng)

+ Để tìm lợi nhuận lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(d:5x + 3y\)

+ Biểu diễn tập nghiệm của BPT: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 200\\3x + y \le 400\end{array} \right.\) trên mặt phẳng \(Oxy\), là miền tứ giác OABC

+ Khi đó các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài là các cặp số tự nhiên sao cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trong miền tứ giác OABC

+ Ta có \(d = 5x + 3y = \sqrt {34} \frac{{\left| {5x + 3y} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = \sqrt {34} d\left( {M,\Delta } \right)\) với \(\Delta \) là đường thẳng có phương trình \(5x + 3y = 0\)

+ Gọi k là đường thẳng đi qua M và song song với \(\Delta \)/ Khi đó \(d\left( {M,\Delta } \right) = d\left( {k,\Delta } \right)\). Do đó d lớn nhất tương ứng với khoảng cách giữa k và \(\Delta \) lớn nhất.

+ Nhìn hình ta có khoảng cách giữa k và \(\Delta \) lớn nhất khi M trung B. Do đó giá tị lớn nhất của d là \(\sqrt {34} \frac{{\left| {5.100 + 3.100} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = 800\)

Vậy Lợi nhuận tối đa mà lớp Việt có thể đạt được là 800 nghìn đồng khi các bên mua và bán được 100 chiếc bánh mì và 100 chai nước

 

GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 20

=========

THUỘC: Giải sách bài tập toán 10 – Kết nối