Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ – Hướng dẫn giải bài 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 trang 81; bài 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình lớp 10. Chương 2 Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0° đến 180°
Bài 2.1 trang 81 SBT Hình 10
Với giá trị nào của góc \(\alpha ({0^0} \le \alpha \le {180^0})\) thì:
a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu?
b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu?
c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu?
d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu?
Giải
a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha < {90^0}\)
b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha < {180^0}\)
c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha < {90^0}\)
d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha < {180^0}\)
Bài 2.2 – SBT Toán hình lớp 10
Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây:
a) \({120^0}\)
b) \({150^0}\)
c) \({135^0}\)
Đáp án
a)
\(\eqalign{
& \sin {120^0} = {{\sqrt 3 } \over 2};cos{120^0} = – {1 \over 2}; \cr
& \tan {120^0} = – \sqrt 3 ;\cot {120^0} = – {1 \over {\sqrt 3 }} \cr}\)
b)
\(\eqalign{
& \sin {150^0} = {1 \over 2};\cos {150^0} = – {{\sqrt 3 } \over 2}; \cr
& \tan {150^0} = – {{\sqrt 3 } \over 3};cot{150^0} = – \sqrt 3 \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& \sin {135^0} = {{\sqrt 2 } \over 2};\cos {135^0} = – {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
& \tan {135^0} = – 1;\cot {135^0} = – 1 \cr} \)
Bài 2.3 trang 81
Tính giá trị của biểu thức:
a) \(2\sin {30^0} + 3\cos {45^0} – \sin {60^0}\)
b) \(2\cos {30^0} + 3\sin {45^0} – \cos {60^0}\)
Gợi ý làm bài
a) \(2.{1 \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 3} = 1 + {{3\sqrt 2 – \sqrt 3 } \over 3}\)
b) \(2.{{\sqrt 3 } \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} – {1 \over 2} = {{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 – 1} \over 2}\)
Bài 2.4 trang 81 Sách bài tập Toán 10
Rút gọn biểu thức:
a) \(4{a^2}{\cos ^2}{60^0} + 2ab.{\cos ^2}{180^0} + {4 \over 3}{b^2}\cos {60^0}\)
b) \((a\sin {90^0} + b\tan {45^0})(a\cos {0^0} + b\cos {180^0})\)
Đáp án
a) \(\eqalign{
& 4{a^2}.{1 \over 4} + 2ab.1 + {4 \over 3}{b^2}.{3 \over 4} \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2} \cr} \)
b) \(\eqalign{
& (a.1 + b.1)(a.1 + b.( – 1)) \cr
& = (a + b)(a – b) = {a^2} – {b^2} \cr} \)
Bài 2.5 trang 81
Hãy tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây:
a) \(A = {\cos ^2}{30^0} – {\sin ^2}{30^0}\) và \(B = \cos {60^0} + \sin {45^0}\)
b) \(C = {{2\tan {{30}^0}} \over {1 – {{\tan }^2}{{30}^0}}}\) và \(D = ( – \tan {135^0}).tan{60^0}\)
Lời giải
a) \(A = \cos _{}^230_{}^ \circ – \sin _{}^230_{}^ \circ = {1 \over 2}\)
và \(B = \cos 60_{}^ \circ + \sin 45_{}^ \circ = {{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy A<B.
b) \(C = {{2\tan 30_{}^o} \over {1 – \tan _{}^230_{}^o}} = \tan (30_{}^o + 30_{}^o) = \tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)
\(D = ( – \tan 135_{}^o).tan60_{}^o = \tan 45_{}^o.\tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)
Vậy C = D
Bài 2.6 trang 82 SBT Toán Hình 10
Cho \(\sin \alpha = {1 \over 4}\) với \({90^0} < \alpha < {180^0}\). Tính \(\cos \alpha \) và \(\tan \alpha \)
Đáp án
Ta có: \(\left| {\cos \alpha } \right| = \sqrt {1 – \sin _{}^2\alpha } = \sqrt {1 – \left( {{1 \over 4}} \right)_{}^2} = {{\sqrt {15} } \over 4}\)
Do
\(\eqalign{
& 90_{}^o < \alpha < 180_{}^o \Rightarrow \cos \alpha < 0 \cr
& \Rightarrow \cos \alpha = – {{\sqrt {15} } \over 4} \cr
& \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = – {{\sqrt {15} } \over {15}} \cr} \)
Bài 2.7
Cho \(\cos \alpha = – {{\sqrt 2 } \over 4}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \)
Bài làm
Vì \(\cos \alpha < 0\) nên \(90_{}^o < \alpha < 180_{}^o \Rightarrow \sin \alpha > 0\)
\(\eqalign{
& \sin \alpha = \sqrt {1 – \cos _{}^2\alpha } = \sqrt {1 – \left( { – {{\sqrt 2 } \over 4}} \right)_{}^2} = {{\sqrt {14} } \over 4} \cr
& \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = – \sqrt 7 \cr} \)
Bài 2.8 trang 82 Sách bài tập hình 10
Cho \(\tan \alpha = \sqrt 2 \) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \)
HD giải
Do \(0_{}^o < \alpha < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha > 0\)
\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + \tan _{}^2\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + (2\sqrt 2 )_{}^2} }} = {1 \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr} \)
Bài 2.9 trang 82
Biết \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha – \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }}\)
Bài giải
Do \(\tan \alpha = \sqrt 2 > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha > 0\)
\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
\(A = {{3\sin \alpha – \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }} = 7 – 4\sqrt 2 \)
Bài 2.10
Biết \(\sin \alpha = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha – \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }}\)
Lời giải
\({\cot ^2}\alpha = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} – 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} – 1 = {5 \over 4}\)
\(\eqalign{
& B = {{\cot \alpha – \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha – {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
& = {{\cot _{}^2\alpha – 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} – 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)
Bài 2.11
Chứng minh rằng với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) ta có:
a) \({(\sin x + \cos x)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)
b) \({(\sin x – \cos x)^2} = 1 – 2\sin x\cos x\)
c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
Đáp án
a)
\(\eqalign{
& {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {(\sin x – \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x – 2\sin x\cos x \cr
& = 1 – 2\sin x\cos x \cr} \)
\(\eqalign{
& c){\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
& = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \)
Giải bài 2.12 trang 82 hình học 10
Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha \)
a) \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha – \cos \alpha )^2}\)
b) \(B = {\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha – 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
Hướng dẫn làm bài
a) \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha – \cos \alpha )^2}\)
\(= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha \)
= 2
b) \(B = {\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha – 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
\( = ({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha – {\cos ^2}\alpha ) – 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
\( = 1[{\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\alpha ){\rm{]}} – 2{\sin ^2}\alpha + 1 = 0\)
Trả lời