Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 1$ trên đoạn $[0; 4]$

Hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn $[0; 4]$.

Bước 1: Tính đạo hàm

$$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9$$

Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0

$$f'(x) = 0 \iff 3(x^2 – 2x – 3) = 0 \iff 3(x + 1)(x – 3) = 0 \iff \left[\begin{aligned} &x = -1 \notin [0; 4] \\ &x = 3 \in [0; 4] \end{aligned}\right.$$

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt

• Tại hai đầu mút đoạn $[0; 4]$:
  
  $$f(0) = 0^3 – 3\cdot 0^2 – 9\cdot 0 + 1 = 1$$
  
  $$f(4) = 4^3 – 3\cdot 4^2 – 9\cdot 4 + 1 = 64 – 48 – 36 + 1 = -19$$
• Tại điểm tới hạn $x = 3$:
  
  $$f(3) = 3^3 – 3\cdot 3^2 – 9\cdot 3 + 1 = 27 – 27 – 27 + 1 = -26$$

Bước 4: So sánh và kết luận

So sánh ba giá trị $f(0) = 1$, $f(4) = -19$, $f(3) = -26$, ta thấy:

• Giá trị lớn nhất là $1$, đạt được khi $x = 0$.

• Giá trị nhỏ nhất là $-26$, đạt được khi $x = 3$.

👉 Kết luận: $\max_{[0; 4]} f(x) = 1$ tại $x = 0$ và $\min_{[0; 4]} f(x) = -26$ tại $x = 3$.