📌 Đề bài:
Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị tương ứng của hàm số bậc ba: $$y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 1$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm cực trị của hàm số đa thức $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước chuẩn sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số (với hàm đa thức thì $D = \mathbb{R}$).
- Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất $y’ = f'(x)$. Tìm các nghiệm $x_i$ của phương trình $y’ = 0$.
- Bước 3: Xét dấu của đạo hàm $y’$ bằng bảng biến thiên hoặc dùng đạo hàm cấp hai $y”$ (Quy tắc 2):
- Nếu $y’$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$ (hoặc $y'(x_0)=0$ và $y”(x_0) < 0$) thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu $y’$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x_0$ (hoặc $y'(x_0)=0$ và $y”(x_0) > 0$) thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- Bước 4: Tính các giá trị cực trị tương ứng $y_{CĐ} = f(x_{CĐ})$ và $y_{CT} = f(x_{CT})$.
Tương tự như việc xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc ba, việc khảo sát dấu của đạo hàm là chìa khóa then chốt.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số đã cho xác định trên toàn bộ tập số thực: $D = \mathbb{R}$.
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm
Ta có đạo hàm bậc nhất: $$y’ = 6x^2 – 6x – 12 = 6(x^2 – x – 2)$$
Giải phương trình $y’ = 0$: $$6(x^2 – x – 2) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1 \\ &x = 2 \end{aligned}\right.$$
Bước 3: Xét dấu của đạo hàm và kết luận cực trị
Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm
Tam thức bậc hai $6x^2 – 6x – 12$ có hệ số $a = 6 > 0$ và hai nghiệm phân biệt $x_1 = -1, x_2 = 2$. Do đó:
- $y’ > 0$ trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$.
- $y’ < 0$ trên khoảng $(-1; 2)$.
- Khi qua điểm $x = -1$, đạo hàm $y’$ đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$. Giá trị cực đại là: $$y_{CĐ} = y(-1) = 2(-1)^3 – 3(-1)^2 – 12(-1) + 1 = -2 – 3 + 12 + 1 = 8$$
- Khi qua điểm $x = 2$, đạo hàm $y’$ đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$. Giá trị cực tiểu là: $$y_{CT} = y(2) = 2(2)^3 – 3(2)^2 – 12(2) + 1 = 16 – 12 – 24 + 1 = -19$$
Cách 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai (Quy tắc 2)
Đạo hàm cấp hai: $y” = 12x – 6$.
- Tại $x = -1$: $y”(-1) = 12(-1) – 6 = -18 < 0 \Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x = -1$.
- Tại $x = 2$: $y”(2) = 12(2) – 6 = 18 > 0 \Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.
👉 Kết luận:
- Điểm cực đại của hàm số là $x = -1$; giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ} = 8$ (điểm cực đại của đồ thị là $M(-1; 8)$).
- Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 2$; giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT} = -19$ (điểm cực tiểu của đồ thị là $N(2; -19)$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Đạo hàm $y” = 6x – 6$:
– $y”(0) = -6 < 0 \Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, $y_{CĐ} = y(0) = 2$.
– $y”(2) = 6 > 0 \Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, $y_{CT} = y(2) = -2$.
Bài tập 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có $y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1)$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
– Đi qua $x = -1$, $y’$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$, giá trị cực tiểu $y_{CT} = y(-1) = -1$.
– Đi qua $x = 1$, $y’$ đổi dấu từ dương sang âm $\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, giá trị cực đại $y_{CĐ} = y(1) = 3$.
Bài tập 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số trùng phương $y = x^4 – 2x^2 – 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Xem thêm lý thuyết về xét tính đơn điệu và cực trị hàm bậc bốn.
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x – 1)(x + 1)$.
Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$.
– Điểm cực đại: $x = 0$ với $y_{CĐ} = y(0) = -3$.
– Các điểm cực tiểu: $x = 1$ và $x = -1$ với $y_{CT} = y(\pm 1) = -4$.
Bài tập 4: Tìm cực trị của hàm số phân thức $y = \frac{x^2 – 2x + 2}{x – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Viết lại: $y = x – 1 + \frac{1}{x – 1}$.
Đạo hàm: $y’ = 1 – \frac{1}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 1)^2 – 1}{(x – 1)^2} = \frac{x(x – 2)}{(x – 1)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
– Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với $y_{CĐ} = y(0) = -2$.
– Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ với $y_{CT} = y(2) = 2$.
Bài tập 5: Xét xem hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 5$ có cực trị hay không.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x – 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nghiệm bội chẵn, đạo hàm không đổi dấu khi đi qua $x = 1$).
Do đó, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.
Để lại phản hồi