📌 Đề bài:
Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số chứa căn thức: $$y = \sqrt{4x – x^2}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức $y = \sqrt{u(x)}$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số (giải bất phương trình $u(x) \ge 0$).
- Bước 2: Tính đạo hàm $y’ = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ với mọi $x$ thuộc phần trong của tập xác định sao cho $u(x) > 0$.
- Bước 3: Tìm các điểm $x_0$ mà tại đó $y’ = 0$ hoặc $y’$ không xác định.
- Bước 4: Lập bảng xét dấu của $y’$ (hoặc bảng biến thiên) và kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng mà $y’ > 0$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng mà $y’ < 0$.
Lưu ý: Tương tự như kỹ thuật tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm phân thức, hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ và có $y’ > 0$ trên $(a; b)$ thì đồng biến trên đoạn $[a; b]$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
1. Tập xác định:
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
$$4x – x^2 \ge 0 \iff x(4 – x) \ge 0 \iff 0 \le x \le 4$$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = [0; 4]$.
2. Đạo hàm và nghiệm:
Với mọi $x \in (0; 4)$, ta có:
$$y’ = \left(\sqrt{4x – x^2}\right)’ = \frac{(4x – x^2)’}{2\sqrt{4x – x^2}} = \frac{4 – 2x}{2\sqrt{4x – x^2}} = \frac{2 – x}{\sqrt{4x – x^2}}$$
Cho $y’ = 0 \iff 2 – x = 0 \iff x = 2 \in (0; 4)$.
3. Xét dấu đạo hàm:
Vì mẫu số $\sqrt{4x – x^2} > 0$ với mọi $x \in (0; 4)$ nên dấu của $y’$ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của nhị thức bậc nhất ở tử số $2 – x$:
- $y’ > 0 \iff 2 – x > 0 \iff x < 2$. Kết hợp điều kiện ta có $x \in (0; 2)$.
- $y’ < 0 \iff 2 - x < 0 \iff x > 2$. Kết hợp điều kiện ta có $x \in (2; 4)$.
4. Bảng biến thiên:
| $x$ | $0$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $y’$ | $\Vert$ | $+$ $0$ $-$ | $\Vert$ |
| $y$ | $0$ | $\nearrow$ $2$ $\searrow$ | $0$ |
👉 Kết luận: Hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$ (hoặc khoảng $(0; 2)$) và nghịch biến trên đoạn $[2; 4]$ (hoặc khoảng $(2; 4)$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{2x – x^2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Tập xác định: $D = [0; 2]$.
• Với $x \in (0; 2)$, ta có $y’ = \frac{1 – x}{\sqrt{2x – x^2}}$.
• $y’ = 0 \iff x = 1$. Ta có $y’ > 0 \iff x \in (0; 1)$ và $y’ < 0 \iff x \in (1; 2)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $[0; 1]$ và nghịch biến trên $[1; 2]$.
Bài tập 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{9 – x^2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Tập xác định: $D = [-3; 3]$.
• Với $x \in (-3; 3)$, $y’ = \frac{-x}{\sqrt{9 – x^2}}$.
• $y’ = 0 \iff x = 0$. Khi $x \in (-3; 0)$ thì $y’ > 0$; khi $x \in (0; 3)$ thì $y’ < 0$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $[-3; 0]$ và nghịch biến trên $[0; 3]$.
Bài tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{x^2 – 4x + 3}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Tập xác định: $x^2 – 4x + 3 \ge 0 \iff x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.
• Với $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$, $y’ = \frac{x – 2}{\sqrt{x^2 – 4x + 3}}$.
• Với $x < 1$, ta có $x - 2 < -1 < 0 \Rightarrow y' < 0$.
• Với $x > 3$, ta có $x – 2 > 1 > 0 \Rightarrow y’ > 0$.
Đáp số: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1]$ và đồng biến trên $[3; +\infty)$.
Bài tập 4: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x – \sqrt{x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Tập xác định: $D = [0; +\infty)$.
• Với $x > 0$, $y’ = 1 – \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} – 1}{2\sqrt{x}}$.
• $y’ = 0 \iff 2\sqrt{x} = 1 \iff x = \frac{1}{4}$.
• $y’ < 0 \iff 0 < x < \frac{1}{4}$ và $y' > 0 \iff x > \frac{1}{4}$.
Đáp số: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0; \frac{1}{4}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$.
Bài tập 5: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x\sqrt{4 – x^2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Tập xác định: $D = [-2; 2]$.
• Với $x \in (-2; 2)$, $y’ = \sqrt{4 – x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4 – x^2}} = \frac{4 – 2x^2}{\sqrt{4 – x^2}}$.
• $y’ = 0 \iff 4 – 2x^2 = 0 \iff x = \pm \sqrt{2}$.
• Dấu của $y’$ cùng dấu với $4 – 2x^2$ trên khoảng $(-2; 2)$:
$y’ > 0 \iff x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$;
$y’ < 0 \iff x \in (-2; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; 2)$.
Đáp số: Hàm số đồng biến trên $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$; nghịch biến trên $[-2; -\sqrt{2}]$ và $[\sqrt{2}; 2]$.
Để lại phản hồi