📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác (với giả thiết biểu thức xác định):
$$P = \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để rút gọn các phân thức chứa nhiều số hạng lượng giác ở cả tử số và mẫu số, phương pháp hiệu quả nhất là nhóm các cặp số hạng đối xứng (có tổng các cung bằng nhau) rồi áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để làm xuất hiện nhân tử chung.
- $\sin a + \sin b = 2\sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a – b}{2}$
- $\cos a + \cos b = 2\cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a – b}{2}$
Tương tự như phương pháp đã áp dụng khi rút gọn biểu thức ba số hạng lượng giác, ở bài toán này ta nhóm cung $x$ với $4x$ (tổng là $5x$) và $2x$ với $3x$ (tổng là $5x$).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Nhóm các số hạng ở tử thức và mẫu thức theo từng cặp có tổng góc bằng nhau:
Tử số:
$$T = (\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x)$$
Mẫu số:
$$M = (\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x)$$
Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
Đối với tử số $T$:
$$\sin 4x + \sin x = 2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}$$
$$\sin 3x + \sin 2x = 2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
$$\Rightarrow T = 2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)$$
Đối với mẫu số $M$:
$$\cos 4x + \cos x = 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}$$
$$\cos 3x + \cos 2x = 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
$$\Rightarrow M = 2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)$$
Bước 3: Rút gọn biểu thức $P$:
$$P = \frac{T}{M} = \frac{2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)}{2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\cos \frac{5x}{2}} = \tan \frac{5x}{2}$$
👉 Kết luận: Biểu thức sau khi rút gọn là $P = \tan \frac{5x}{2}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin 5x – \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$$A = \frac{2\cos 4x \sin x}{2\cos 4x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
Đáp số: $A = \tan x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\cos x – \cos 5x}{\sin 5x – \sin x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$$B = \frac{-2\sin 3x \sin(-2x)}{2\cos 3x \sin 2x} = \frac{2\sin 3x \sin 2x}{2\cos 3x \sin 2x} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$$
Đáp số: $B = \tan 3x$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sin 2x + \sin 4x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$$C = \frac{(\sin 6x + \sin 2x) + \sin 4x}{(\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x} = \frac{2\sin 4x \cos 2x + \sin 4x}{2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x} = \frac{\sin 4x(2\cos 2x + 1)}{\cos 4x(2\cos 2x + 1)} = \tan 4x$$
Đáp số: $C = \tan 4x$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $D = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$$D = \frac{(\sin 7x + \sin x) + (\sin 5x + \sin 3x)}{(\cos 7x + \cos x) + (\cos 5x + \cos 3x)} = \frac{2\sin 4x \cos 3x + 2\sin 4x \cos x}{2\cos 4x \cos 3x + 2\cos 4x \cos x} = \frac{2\sin 4x(\cos 3x + \cos x)}{2\cos 4x(\cos 3x + \cos x)} = \tan 4x$$
Đáp số: $D = \tan 4x$.
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức $E = \frac{\sin a + \sin 5a – \sin 3a}{\cos a + \cos 5a – \cos 3a}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$$E = \frac{(\sin 5a + \sin a) – \sin 3a}{(\cos 5a + \cos a) – \cos 3a} = \frac{2\sin 3a \cos 2a – \sin 3a}{2\cos 3a \cos 2a – \cos 3a} = \frac{\sin 3a(2\cos 2a – 1)}{\cos 3a(2\cos 2a – 1)} = \tan 3a$$
Đáp số: $E = \tan 3a$.
Để lại phản hồi