Cho hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn $\tan \alpha = \frac{5}{12}$ và $\tan(\alpha + \beta) = \frac{7}{9}$. Tính giá trị của $\tan \beta$ và giá trị biểu thức $P = \frac{\sin(\alpha – \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha – \beta) – \sin(\alpha + \beta)}$

Bước 1: Tính $\tan \beta$

Nhận xét rằng $\beta = (\alpha + \beta) – \alpha$. Áp dụng công thức cộng đối với hàm số tang, ta có:

$$\tan \beta = \tan\left[(\alpha + \beta) – \alpha\right] = \frac{\tan(\alpha + \beta) – \tan \alpha}{1 + \tan(\alpha + \beta) \cdot \tan \alpha}$$

Thay $\tan(\alpha + \beta) = \frac{7}{9}$ và $\tan \alpha = \frac{5}{12}$ vào công thức:

$$\tan \beta = \frac{\frac{7}{9} – \frac{5}{12}}{1 + \frac{7}{9} \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{28 – 15}{36}}{1 + \frac{35}{108}} = \frac{\frac{13}{36}}{\frac{143}{108}} = \frac{13}{36} \cdot \frac{108}{143} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{11}$$

Bước 2: Xác định các giá trị lượng giác của $\alpha, \beta$ và $(\alpha + \beta)$

Vì $\alpha$ là góc nhọn ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) và $\tan \alpha = \frac{5}{12}$:

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{144}{169} \implies \cos \alpha = \frac{12}{13}$$
$$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = \frac{5}{13}$$

Vì $\beta$ là góc nhọn ($0 < \beta < \frac{\pi}{2}$) và $\tan \beta = \frac{3}{11}$:

$$\cos^2 \beta = \frac{1}{1 + \tan^2 \beta} = \frac{1}{1 + \frac{9}{121}} = \frac{121}{130} \implies \cos \beta = \frac{11}{\sqrt{130}}$$
$$\sin \beta = \tan \beta \cdot \cos \beta = \frac{3}{11} \cdot \frac{11}{\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$$

Đối với góc $\alpha + \beta$: do $\alpha, \beta$ nhọn và $\tan(\alpha + \beta) = \frac{7}{9} > 0$ nên $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$:

$$\cos^2(\alpha + \beta) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)} = \frac{1}{1 + \frac{49}{81}} = \frac{81}{130} \implies \cos(\alpha + \beta) = \frac{9}{\sqrt{130}}$$
$$\sin(\alpha + \beta) = \tan(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha + \beta) = \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}}$$

Bước 3: Tính $\sin(\alpha – \beta)$ và $\cos(\alpha – \beta)$

$$\sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta = \frac{5}{13} \cdot \frac{11}{\sqrt{130}} – \frac{12}{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{130}} = \frac{55 – 36}{13\sqrt{130}} = \frac{19}{13\sqrt{130}}$$
$$\cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \frac{12}{13} \cdot \frac{11}{\sqrt{130}} + \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{130}} = \frac{132 + 15}{13\sqrt{130}} = \frac{147}{13\sqrt{130}}$$

Bước 4: Tính giá trị biểu thức $P$

Ta quy đồng mẫu số của tử và mẫu theo thừa số chung $\frac{1}{13\sqrt{130}}$:

Tử số của $P$ là:

$$\sin(\alpha – \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \frac{19}{13\sqrt{130}} + \frac{9 \times 13}{13\sqrt{130}} = \frac{19 + 117}{13\sqrt{130}} = \frac{136}{13\sqrt{130}}$$

Mẫu số của $P$ là:

$$\cos(\alpha – \beta) – \sin(\alpha + \beta) = \frac{147}{13\sqrt{130}} – \frac{7 \times 13}{13\sqrt{130}} = \frac{147 – 91}{13\sqrt{130}} = \frac{56}{13\sqrt{130}}$$

Do đó:

$$P = \frac{\frac{136}{13\sqrt{130}}}{\frac{56}{13\sqrt{130}}} = \frac{136}{56} = \frac{17}{7}$$

👉 Kết luận: $\tan \beta = \frac{3}{11}$ và $P = \frac{17}{7}$.