Cho hai góc nhọn $\alpha, \beta$ thỏa mãn $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ và $\tan \beta = \frac{1}{3}$. Tính giá trị của $\alpha + \beta$ và biểu thức $P = \cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)$

Bước 1: Tính số đo của góc $\alpha + \beta$

Áp dụng công thức cộng cho tang:

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 – \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$$

Vì $\alpha, \beta$ là các góc nhọn nên $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ và $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, suy ra $0 < \alpha + \beta < \pi$.

Do đó, $\tan(\alpha + \beta) = 1 \implies \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$.

Bước 2: Tìm các giá trị $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$

Tương tự như các kỹ thuật tính giá trị biểu thức lượng giác từ tỉ số cho trước, ta có:

• Với góc $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$:
  $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \implies \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
  $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
• Với góc $\beta \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$:
  $$\cos^2 \beta = \frac{1}{1 + \tan^2 \beta} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{9}{10} \implies \cos \beta = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$
  $$\sin \beta = \tan \beta \cdot \cos \beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Bước 3: Tính $\cos(\alpha + \beta)$ và $\sin(\alpha – \beta)$

Ta có:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} – \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3 – 2}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$

Bước 4: Tính giá trị biểu thức $P$

$$P = \cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{10} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{10} = \frac{6\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{5}$$

👉 Kết luận / Đáp án: $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ và $P = \frac{3\sqrt{2}}{5}$.