Cho hai góc nhọn $x$ và $y$ thỏa mãn $\tan x = \frac{1}{7}$ và $\tan y = \frac{3}{4}$. Tính giá trị của $x + y$ và biểu thức $P = \sin(x + y) – \cos(x – y)$

Bước 1: Tính giá trị của $x + y$

Áp dụng công thức cộng cho tang, ta có:
$$\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 – \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}$$

Quy đồng mẫu số ở tử và mẫu:
$$\tan(x + y) = \frac{\frac{4 + 21}{28}}{\frac{28 – 3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1$$

Vì $x$ và $y$ là các góc nhọn nên $0 < x < \frac{\pi}{2}$ và $0 < y < \frac{\pi}{2}$, suy ra $0 < x + y < \pi$.

Do đó, $\tan(x + y) = 1 \implies x + y = \frac{\pi}{4}$ (hay $45^\circ$).

Suy ra: $$\sin(x + y) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$

Bước 2: Tính $\sin x, \cos x, \sin y, \cos y$

Vì $x, y$ là các góc nhọn nên các giá trị lượng giác $\sin x, \cos x, \sin y, \cos y$ đều mang dấu dương.

• Đối với góc $x$:
$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{7}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{50}{49}}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$
$$\sin x = \tan x \cdot \cos x = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$

• Đối với góc $y$:
$$\cos y = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{4}{5}$$
$$\sin y = \tan y \cdot \cos y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$$

Bước 3: Tính $\cos(x – y)$ và giá trị biểu thức $P$

Tương tự phương pháp giải ở các bài toán biến đổi tổng và hiệu góc lượng giác, ta khai triển:
$$\cos(x – y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \left(\frac{7}{5\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right)$$
$$\cos(x – y) = \frac{28 + 3}{25\sqrt{2}} = \frac{31}{25\sqrt{2}} = \frac{31\sqrt{2}}{50}$$

Thay vào biểu thức $P$:
$$P = \sin(x + y) – \cos(x – y) = \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{31\sqrt{2}}{50} = \frac{25\sqrt{2} – 31\sqrt{2}}{50} = -\frac{6\sqrt{2}}{50} = -\frac{3\sqrt{2}}{25}$$

👉 Kết luận / Đáp án:
$$x + y = \frac{\pi}{4}, \quad P = -\frac{3\sqrt{2}}{25}$$