Chuyên đề Toán THPT: Phân tích chuyên sâu Ứng dụng đạo hàm – Các dạng toán và lời giải chi tiết

Bước 1: Tìm tập xác định. Đây là bước đầu tiên và tối quan trọng nhưng học sinh thường xuyên bỏ qua dẫn đến mất điểm oan. Hàm số chứa mẫu thức, do đó điều kiện xác định là mẫu thức phải khác 0: $x – m \neq 0 \Leftrightarrow x \neq m$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{m\}$.

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất. Ta áp dụng công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: $y’ = \frac{m \cdot (-m) – (-4) \cdot 1}{(x – m)^2} = \frac{-m^2 + 4}{(x – m)^2}$. Lưu ý mẫu số $(x – m)^2 > 0$ với mọi $x \neq m$, nên dấu của $y’$ phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của tử số.

Bước 3: Lập luận điều kiện bài toán. Yêu cầu của bài toán là hàm số phải đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Để điều này xảy ra, ta cần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện cốt lõi sau đây. Thứ nhất, đạo hàm phải mang dấu dương trên từng khoảng xác định. Do đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm không được phép bằng 0, tức là ta có điều kiện: $y’ > 0$. Thứ hai, để sự đồng biến được duy trì liên tục trên toàn bộ khoảng $(0; +\infty)$, thì điểm gián đoạn của hàm số (đường tiệm cận đứng $x = m$) tuyệt đối không được phép rơi vào khoảng đang xét này. Nghĩa là giá trị $m$ không được thuộc khoảng $(0; +\infty)$, hay nói cách khác $m \notin (0; +\infty)$.

Bước 4: Giải hệ bất phương trình. Từ những lập luận trên, ta thiết lập được hệ điều kiện như sau: Điều kiện 1: Tử số dương: $-m^2 + 4 > 0 \Leftrightarrow m^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < m < 2$. Điều kiện 2: Vị trí điểm gián đoạn: $m \notin (0; +\infty) \Leftrightarrow m \le 0$.

Bước 5: Kết luận. Giao hai tập nghiệm vừa tìm được lại với nhau, ta lấy những giá trị $m$ vừa lớn hơn $-2$, nhỏ hơn $2$, và đồng thời phải nhỏ hơn hoặc bằng $0$. Kết quả cuối cùng là: $-2 < m \le 0$. Đây là một dạng toán kinh điển, bẫy lớn nhất nằm ở chỗ học sinh thường quên mất điều kiện của điểm gián đoạn $m \le 0$, dẫn đến việc chọn sai đáp án thành khoảng $-2 < m < 2$. Các em cần khắc cốt ghi tâm bước kiểm tra điều kiện này.

Bước 1: Tính các đạo hàm. Hàm số đã cho là hàm đa thức bậc 3 nên xác định trên toàn trục số. Ta lần lượt tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai. Đạo hàm bậc nhất: $y’ = x^2 – 2mx + m^2 – 4$. Đạo hàm bậc hai: $y” = 2x – 2m$.

Bước 2: Sử dụng điều kiện cần. Để hàm số có thể đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại một điểm $x_0$, thì điểm đó phải là nghiệm của phương trình đạo hàm bậc nhất. Do đó, điều kiện cần là $y'(3) = 0$. Thay $x = 3$ vào biểu thức đạo hàm bậc nhất, ta được phương trình: $3^2 – 2m \cdot 3 + m^2 – 4 = 0$. Rút gọn biểu thức này ta có: $m^2 – 6m + 5 = 0$. Đây là một phương trình bậc hai đơn giản có tổng các hệ số $1 – 6 + 5 = 0$, nên dễ dàng nhẩm được hai nghiệm là $m = 1$ và $m = 5$. Tuy nhiên, đây mới chỉ là điều kiện cần, nghĩa là tại $x = 3$ hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu hoặc không đạt cực trị nào cả. Ta bắt buộc phải kiểm tra lại.

Bước 3: Sử dụng điều kiện đủ (Kiểm tra lại). Ta sử dụng Định lý 2 thông qua đạo hàm bậc hai để kiểm tra từng giá trị của $m$ vừa tìm được. Mục tiêu của ta là tìm cực đại, nên ta cần $y”(3) < 0$.

Trường hợp 1: Với $m = 1$. Ta thay $m = 1$ vào công thức đạo hàm bậc hai. Ta có $y” = 2x – 2$. Thay $x = 3$ vào, ta tính được $y”(3) = 2 \cdot 3 – 2 = 4$. Vì kết quả $4 > 0$, nên theo định lý, hàm số sẽ đạt cực tiểu tại $x = 3$. Điều này trái với yêu cầu của bài toán là tìm cực đại. Do đó, ta loại giá trị $m = 1$.

Trường hợp 2: Với $m = 5$. Ta thay $m = 5$ vào công thức đạo hàm bậc hai. Ta có $y” = 2x – 10$. Thay $x = 3$ vào, ta tính được $y”(3) = 2 \cdot 3 – 10 = -4$. Vì kết quả $-4 < 0$, nên hàm số chắc chắn đạt cực đại tại điểm $x = 3$. Điều này hoàn toàn thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Do đó, ta nhận giá trị $m = 5$.

Bước 4: Kết luận. Giá trị duy nhất của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $m = 5$. Sai lầm phổ biến nhất của các sĩ tử trong dạng bài này là dừng lại ngay ở bước tìm ra hai nghiệm của phương trình $y'(3)=0$ rồi vội vã kết luận nhận cả hai nghiệm. Việc kiểm tra lại bằng đạo hàm bậc hai là bước sinh tử không thể bỏ qua.

Bước 1: Tìm tập xác định. Biểu thức dưới dấu căn bậc chẵn phải không âm. Do đó điều kiện là: $4 – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$. Tập xác định của hàm số là một đoạn kín $D = [-2; 2]$. Nhờ tập xác định là một đoạn, ta có thể áp dụng quy tắc tìm Max/Min không cần bảng biến thiên.

Bước 2: Tính đạo hàm. Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và đạo hàm của căn thức $\left(\sqrt{u}\right)’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}$. Ta có: $y’ = 1 + \frac{-2x}{2\sqrt{4 – x^2}} = 1 – \frac{x}{\sqrt{4 – x^2}}$.

Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0. Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 1 – \frac{x}{\sqrt{4 – x^2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 – x^2} = x$. Đây là dạng phương trình vô tỉ cơ bản $\sqrt{A} = B$. Điều kiện để giải là vế phải phải không âm: $x \ge 0$. Khi đó, ta bình phương hai vế: $4 – x^2 = x^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 4 \Leftrightarrow x^2 = 2$. Giải ra ta được hai nghiệm $x = \sqrt{2}$ và $x = -\sqrt{2}$. Tuy nhiên, đối chiếu với điều kiện $x \ge 0$ vừa đặt ra, ta chỉ nhận nghiệm $x = \sqrt{2}$. Ta kiểm tra thấy $\sqrt{2} \approx 1.414$ nằm gọn trong khoảng $(-2; 2)$, nên đây là một điểm cực trị hợp lệ trên đoạn đang xét.

Bước 4: Tính các giá trị. Bây giờ, ta tính giá trị của hàm số gốc $y = f(x)$ tại hai mút của đoạn $[-2; 2]$ và tại điểm làm đạo hàm bằng 0 vừa tìm được. Ta tính lần lượt: Tại mút trái: $f(-2) = -2 + \sqrt{4 – (-2)^2} = -2 + 0 = -2$. Tại mút phải: $f(2) = 2 + \sqrt{4 – 2^2} = 2 + 0 = 2$. Tại điểm tới hạn: $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 – (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Bước 5: So sánh và kết luận. Ta thu được tập hợp các giá trị là $\{-2; 2; 2\sqrt{2}\}$. So sánh các số này, ta dễ dàng nhận thấy: Giá trị nhỏ nhất là $-2$. Giá trị lớn nhất là $2\sqrt{2}$ (vì $2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2$). Vậy kết luận cuối cùng: $\max_{[-2; 2]} y = 2\sqrt{2}$ đạt được khi $x = \sqrt{2}$ và $\min_{[-2; 2]} y = -2$ đạt được khi $x = -2$. Bài toán này đòi hỏi kỹ năng giải phương trình chứa căn chuẩn xác, đặc biệt là việc không được quên điều kiện $B \ge 0$ khi bình phương hai vế.

Bước 1: Cô lập tham số. Đối với các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, kỹ thuật đầu tiên ta nên nghĩ tới là “cô lập tham số m”. Phương trình ban đầu tương đương với: $e^x + x = m$. Bản chất của phương trình này chính là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: Đồ thị hàm số $y = f(x) = e^x + x$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$ song song với trục hoành.

Bước 2: Xét hàm số và tính đạo hàm. Xét hàm số vế trái $f(x) = e^x + x$ trên đoạn đang được yêu cầu là đoạn $[0; 1]$. Ta tính đạo hàm: $f'(x) = e^x + 1$. Vì hàm số mũ $e^x > 0$ với mọi giá trị của $x$, nên rõ ràng $f'(x) = e^x + 1 > 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $f'(x) > 0$ với mọi $x \in [0; 1]$. Kết luận, hàm số $f(x)$ là một hàm số đồng biến (tăng) liên tục và nghiêm ngặt trên toàn bộ đoạn $[0; 1]$.

Bước 3: Lập bảng biến thiên và đánh giá. Vì hàm số liên tục và luôn đi lên, nó sẽ quét qua tất cả các giá trị từ $f(0)$ đến $f(1)$ mà không bị đứt đoạn hay vòng lại (theo định lý giá trị trung gian). Ta đi tính giá trị tại hai mút: Tại mút trái: $f(0) = e^0 + 0 = 1$. Tại mút phải: $f(1) = e^1 + 1 = e + 1$. Như vậy, trên đoạn $x \in [0; 1]$, giá trị của hàm số $f(x)$ sẽ chạy một lèo từ điểm thấp nhất là $1$ lên điểm cao nhất là $e + 1$.

Bước 4: Kết luận bằng đồ thị. Quay lại ý tưởng ban đầu, số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường cong $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$. Để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $f(x)$ tại đúng một điểm có hoành độ thuộc đoạn $[0; 1]$, đường thẳng đó phải di chuyển trong dải giá trị từ điểm thấp nhất đến điểm cao nhất của phần đồ thị. Nhìn vào sự biến thiên, ta lập tức rút ra điều kiện: $1 \le m \le e + 1$. Đây là đáp án cuối cùng của bài toán. Cách giải này vượt trội hoàn toàn so với mọi nỗ lực biến đổi đại số vô vọng trên phương trình chứa cả biến ở hàm mũ và hàm đa thức.

Bước 1: Đặt ẩn số và tìm điều kiện. Gọi độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt bỏ ở bốn góc là $x$ (đơn vị: cm). Điều kiện thực tế: vì tấm tôn ban đầu có cạnh là $60$, và ta phải cắt ở hai góc trên cùng một cạnh, nên tổng chiều dài phần cắt không thể vượt quá $60$. Tức là $2x < 60$. Ngoài ra độ dài thì không thể âm, nên $x > 0$. Kết hợp lại, ta có điều kiện chặt chẽ của ẩn số là: $0 < x < 30$.

Bước 2: Xây dựng hàm số mục tiêu (Thể tích). Sau khi cắt bỏ bốn góc và gấp lên, chiếc hộp hình thành sẽ có đáy là một hình vuông mới. Chiều dài cạnh đáy hộp sẽ bằng cạnh tấm tôn ban đầu trừ đi hai phần bị cắt ở hai đầu: $60 – 2x$ (cm). Chiều cao của chiếc hộp chính xác bằng độ dài cạnh nếp gấp, tức là bằng $x$ (cm). Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật là Diện tích đáy nhân Chiều cao. Do đáy là hình vuông, ta có hàm số thể tích theo biến $x$ là: $V(x) = (60 – 2x)^2 \cdot x$. Để dễ tính đạo hàm hơn, ta có thể rút nhân tử chung số $2$ ra khỏi dấu ngoặc bình phương (thành $4$): $V(x) = 4(30 – x)^2 \cdot x$.

Bước 3: Khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất. Ta đi tính đạo hàm của hàm số $V(x)$. Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(u \cdot v)’ = u’v + uv’$. Gọi $u = (30 – x)^2$ và $v = x$. Ta có: $V'(x) = 4 \cdot \left[ 2(30 – x)(-1) \cdot x + (30 – x)^2 \cdot 1 \right]$. Rút nhân tử chung $(30 – x)$ bên trong ngoặc vuông, ta được: $V'(x) = 4(30 – x) \cdot \left[ -2x + (30 – x) \right] = 4(30 – x)(30 – 3x)$. Để rút gọn đẹp hơn nữa, ta rút số $3$ từ ngoặc thứ hai ra ngoài: $V'(x) = 12(30 – x)(10 – x)$.

Bước 4: Giải phương trình đạo hàm và lập bảng biến thiên. Cho $V'(x) = 0 \Leftrightarrow 12(30 – x)(10 – x) = 0$. Phương trình này có hai nghiệm là $x = 30$ và $x = 10$. Đối chiếu với điều kiện thực tế $0 < x < 30$ ở Bước 1, ta thấy nghiệm $x = 30$ bị loại (nếu cắt đi $30$ thì hết luôn tấm tôn, không thể gấp hộp). Do đó, ta chỉ còn lại một điểm tới hạn là $x = 10$. Lập bảng xét dấu đạo hàm trên khoảng $(0; 30)$: Khi $x$ đi từ $0$ đến $10$, thì $(30-x) > 0$ và $(10-x) > 0$ nên $V'(x) > 0$ (hàm số đi lên). Khi $x$ đi từ $10$ đến $30$, thì $(30-x) > 0$ nhưng $(10-x) < 0$ nên $V'(x) < 0$ (hàm số đi xuống). Sự biến đổi từ dương sang âm chỉ ra rằng hàm số đạt cực đại tại $x = 10$. Vì đây là cực trị duy nhất trên khoảng đang xét, nó cũng chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đó.

Bước 5: Kết luận. Thể tích của chiếc hộp sẽ đạt cực đại khi và chỉ khi ta cắt bỏ bốn hình vuông ở góc có độ dài cạnh là $x = 10\text{ cm}$. (Nếu muốn mở rộng thêm, ta có thể tính luôn thể tích lớn nhất lúc đó là $V(10) = 4(30 – 10)^2 \cdot 10 = 4 \cdot 400 \cdot 10 = 16000\text{ cm}^3$). Đây là minh chứng tuyệt vời cho việc dùng toán học để tối ưu hóa quy trình sản xuất trong công nghiệp.