Một người đi làm bằng ba phương tiện: xe buýt, xe đạp và xe máy với xác suất tương ứng là 0,5; 0,2 và 0,3. Xác suất người đó đi làm muộn khi đi xe buýt, xe đạp và xe máy lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,05. Hôm nay người đó đi làm muộn. Tính xác suất người đó đã đi làm bằng xe buýt.

Dạng toán: Tính xác suất có điều kiện (Áp dụng công thức Bayes)

Phương pháp giải: Để giải bài toán tính xác suất của một nguyên nhân khi biết kết quả (biến cố) đã xảy ra, ta sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.

Giới thiệu hệ biến cố đầy đủ $A_1, A_2, …, A_n$. Ta có $P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n) = 1$.

Gọi $B$ là biến cố xảy ra theo một trong các nguyên nhân $A_i$.

• Công thức xác suất đầy đủ: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$
• Công thức Bayes: $P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$

Đề bài

Một người đi làm bằng ba phương tiện: xe buýt, xe đạp và xe máy với xác suất tương ứng là 0,5; 0,2 và 0,3. Xác suất người đó đi làm muộn khi đi xe buýt, xe đạp và xe máy lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,05. Hôm nay người đó đi làm muộn. Tính xác suất người đó đã đi làm bằng xe buýt.

Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố người đó đi làm bằng xe buýt. Suy ra $P(A_1) = 0,5$.

Gọi $A_2$ là biến cố người đó đi làm bằng xe đạp. Suy ra $P(A_2) = 0,2$.

Gọi $A_3$ là biến cố người đó đi làm bằng xe máy. Suy ra $P(A_3) = 0,3$.

Các biến cố $A_1, A_2, A_3$ lập thành một hệ đầy đủ.

Gọi $B$ là biến cố Người đó đi làm muộn. Theo giả thiết ta có xác suất đi làm muộn tương ứng với các phương tiện là: $P(B|A_1) = 0,1$; $P(B|A_2) = 0,2$; $P(B|A_3) = 0,05$.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, xác suất để người đó đi làm muộn trong một ngày bất kỳ là:

$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$

$P(B) = 0,5 \times 0,1 + 0,2 \times 0,2 + 0,3 \times 0,05 = 0,05 + 0,04 + 0,015 = 0,105$

Biết rằng hôm nay người đó đi làm muộn, xác suất người đó đi bằng xe buýt được tính theo công thức Bayes:

$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0,05}{0,105} = \frac{50}{105} = \frac{10}{21} \approx 0,476$

Kết luận: Xác suất người đó đã đi làm bằng xe buýt là $\frac{10}{21}$.

Bài tập làm thêm tương tự

Bài 1: Ba hộp thư A, B, C nhận lần lượt 40%, 35% và 25% tổng số email đến. Tỉ lệ thư rác ở các hộp thư này tương ứng là 5%, 3% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 email trong hệ thống và phát hiện đó là thư rác. Tính xác suất email đó thuộc hộp thư B.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A, B, C$ là biến cố email thuộc hộp thư tương ứng. $P(A)=0,4; P(B)=0,35; P(C)=0,25$. Gọi $R$ là biến cố gặp thư rác. Ta có $P(R|A)=0,05; P(R|B)=0,03; P(R|C)=0,02$.

$P(R) = 0,4 \times 0,05 + 0,35 \times 0,03 + 0,25 \times 0,02 = 0,0355$.

Xác suất cần tìm: $P(B|R) = \frac{P(B)P(R|B)}{P(R)} = \frac{0,0105}{0,0355} = \frac{21}{71} \approx 0,296$.

Bài 2: Khách hàng của một công ty bảo hiểm được chia làm 3 nhóm: rủi ro thấp (chiếm 60%), rủi ro trung bình (chiếm 30%) và rủi ro cao (chiếm 10%). Xác suất xảy ra tai nạn trong năm của 3 nhóm lần lượt là 1%, 5% và 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng và biết rằng người này đã gặp tai nạn trong năm. Tính xác suất người này thuộc nhóm rủi ro cao.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A_1, A_2, A_3$ là khách hàng thuộc nhóm rủi ro thấp, trung bình, cao. Gọi $T$ là biến cố khách gặp tai nạn.

$P(T) = 0,6 \times 0,01 + 0,3 \times 0,05 + 0,1 \times 0,15 = 0,036$.

Xác suất cần tìm: $P(A_3|T) = \frac{0,1 \times 0,15}{0,036} = \frac{0,015}{0,036} = \frac{5}{12} \approx 0,417$.

Bài 3: Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, mỗi người bắn một viên. Xác suất trúng đích của xạ thủ 1, 2, 3 lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9. Trọng tài chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và yêu cầu người đó bắn một viên. Kết quả viên đạn trúng đích. Tính xác suất xạ thủ thứ hai là người đã bắn.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $X_1, X_2, X_3$ là biến cố chọn xạ thủ 1, 2, 3. Xác suất chọn mỗi người là như nhau: $P(X_i) = \frac{1}{3}$. Gọi $D$ là biến cố đạn trúng đích.

$P(D) = \frac{1}{3} \times 0,7 + \frac{1}{3} \times 0,8 + \frac{1}{3} \times 0,9 = 0,8$.

Xác suất cần tìm: $P(X_2|D) = \frac{P(X_2)P(D|X_2)}{P(D)} = \frac{\frac{1}{3} \times 0,8}{0,8} = \frac{1}{3}$.

Bài 4: Trong một kho chứa hai loại hạt giống A và B được trộn lẫn với tỉ lệ 3:2. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống loại A là 80%, của loại B là 90%. Lấy ngẫu nhiên một hạt đem gieo thì thấy hạt đó không nảy mầm. Tính xác suất hạt giống vừa gieo là hạt giống loại A.

Xem đáp án và lời giải

Tỉ lệ hạt giống A là $P(A) = \frac{3}{5} = 0,6$; hạt B là $P(B) = \frac{2}{5} = 0,4$. Gọi $M$ là biến cố hạt không nảy mầm. Ta có $P(M|A) = 1 – 0,8 = 0,2$ và $P(M|B) = 1 – 0,9 = 0,1$.

$P(M) = 0,6 \times 0,2 + 0,4 \times 0,1 = 0,16$.

Xác suất cần tìm: $P(A|M) = \frac{0,6 \times 0,2}{0,16} = \frac{0,12}{0,16} = 0,75$.

Bài 5: Một ngân hàng cấp tín dụng cho 3 loại doanh nghiệp: lớn (20%), vừa (50%) và nhỏ (30%). Tỉ lệ phát sinh nợ xấu của 3 loại doanh nghiệp này lần lượt là 2%, 4% và 8%. Trưởng phòng tín dụng rút ngẫu nhiên 1 hồ sơ thì phát hiện hồ sơ đó có nợ xấu. Tính xác suất đó là hồ sơ của một doanh nghiệp vừa.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $D_1, D_2, D_3$ tương ứng là doanh nghiệp lớn, vừa, nhỏ. Gọi $N$ là biến cố hồ sơ có nợ xấu.

$P(N) = 0,2 \times 0,02 + 0,5 \times 0,04 + 0,3 \times 0,08 = 0,048$.

Xác suất cần tìm: $P(D_2|N) = \frac{0,5 \times 0,04}{0,048} = \frac{0,020}{0,048} = \frac{5}{12} \approx 0,417$.