Dạng toán: Bài toán xác suất sử dụng công thức Bayes
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi $A_1, A_2, …, A_n$ là một hệ biến cố đầy đủ.
- Bước 2: Gọi $B$ là biến cố quan tâm (thường đã xảy ra).
- Bước 3: Tính xác suất đầy đủ $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$.
- Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất hậu nghiệm $P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}$.
Đề bài:
Một bệnh viện có hai máy xét nghiệm A và B. Máy A thực hiện 60% số ca, máy B thực hiện 40% số ca. Tỉ lệ xét nghiệm sai của máy A là 1%, máy B là 2%. Chọn ngẫu nhiên một kết quả xét nghiệm và thấy nó bị sai. Tính xác suất để kết quả này do máy A thực hiện.
Lời giải chi tiết:
Gọi $A_1$ là biến cố kết quả xét nghiệm do máy A thực hiện.
Gọi $A_2$ là biến cố kết quả xét nghiệm do máy B thực hiện.
Ta có $A_1, A_2$ lập thành một hệ biến cố đầy đủ với $P(A_1) = 0,6$ và $P(A_2) = 0,4$.
Gọi $B$ là biến cố kết quả xét nghiệm bị sai.
Theo giả thiết, ta có xác suất có điều kiện: $P(B|A_1) = 0,01$ và $P(B|A_2) = 0,02$.
Theo công thức xác suất đầy đủ, xác suất để một kết quả xét nghiệm bất kỳ bị sai là:
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0,6 \times 0,01 + 0,4 \times 0,02 = 0,006 + 0,008 = 0,014$.
Áp dụng công thức Bayes, xác suất kết quả đó do máy A thực hiện biết rằng nó bị sai là:
$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0,006}{0,014} = \frac{3}{7} \approx 0,4286$.
Bài tập làm thêm:
Bài 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng I, II, III sản xuất cùng một loại sản phẩm với tỉ lệ tương ứng là 30%, 50%, 20%. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 2%, 3%, 4%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy thì được phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó do phân xưởng I sản xuất.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ là biến cố sản phẩm do phân xưởng I, II, III sản xuất. $P(A_1)=0,3; P(A_2)=0,5; P(A_3)=0,2$.
Gọi $B$ là biến cố lấy được phế phẩm. $P(B|A_1)=0,02; P(B|A_2)=0,03; P(B|A_3)=0,04$.
$P(B) = 0,3 \times 0,02 + 0,5 \times 0,03 + 0,2 \times 0,04 = 0,006 + 0,015 + 0,008 = 0,029$.
Theo công thức Bayes: $P(A_1|B) = \frac{0,006}{0,029} = \frac{6}{29}$.
Bài 2: Trong một hộp có 3 đồng xu: 1 đồng xu chuẩn (xác suất sấp 50%), 1 đồng xu có 2 mặt sấp, 1 đồng xu bị lệch (xác suất sấp là 75%). Chọn ngẫu nhiên 1 đồng xu và tung thì được mặt sấp. Tính xác suất đó là đồng xu chuẩn.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là biến cố chọn được đồng xu chuẩn, đồng xu 2 mặt sấp, đồng xu lệch. $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$.
Gọi $S$ là biến cố tung được mặt sấp. $P(S|A_1)=0,5; P(S|A_2)=1; P(S|A_3)=0,75$.
$P(S) = \frac{1}{3}(0,5 + 1 + 0,75) = \frac{2,25}{3} = 0,75$.
$P(A_1|S) = \frac{\frac{1}{3} \times 0,5}{0,75} = \frac{0,5}{2,25} = \frac{2}{9}$.
Bài 3: Tỉ lệ người mắc bệnh X trong cộng đồng là 1%. Một xét nghiệm có độ nhạy 95% (người bệnh thì dương tính) và độ đặc hiệu 90% (người không bệnh thì âm tính). Một người xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A$ là biến cố mắc bệnh, $P(A)=0,01$. $\overline{A}$ là không mắc bệnh, $P(\overline{A})=0,99$.
Gọi $B$ là xét nghiệm dương tính. $P(B|A)=0,95; P(B|\overline{A})=1 – 0,90 = 0,10$.
$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0,01 \times 0,95 + 0,99 \times 0,10 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085$.
$P(A|B) = \frac{0,0095}{0,1085} = \frac{19}{217} \approx 8,76\%$.
Bài 4: Một sinh viên đi học bằng xe bus (xác suất 40%), xe máy (xác suất 50%) và đi bộ (xác suất 10%). Xác suất đi muộn tương ứng là 10%, 5%, 0%. Hôm nay sinh viên đó đi muộn. Tính xác suất sinh viên đó đi bằng xe bus.
Xem đáp án và lời giải
Hệ đầy đủ: $A_1$ (xe bus), $A_2$ (xe máy), $A_3$ (đi bộ). $P(A_1)=0,4; P(A_2)=0,5; P(A_3)=0,1$.
Biến cố $M$ (đi muộn). $P(M|A_1)=0,1; P(M|A_2)=0,05; P(M|A_3)=0$.
$P(M) = 0,4 \times 0,1 + 0,5 \times 0,05 + 0,1 \times 0 = 0,04 + 0,025 = 0,065$.
$P(A_1|M) = \frac{0,04}{0,065} = \frac{8}{13}$.
Bài 5: Có hai hộp bi. Hộp 1 có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Hộp 2 có 4 bi đỏ, 4 bi xanh. Rút ngẫu nhiên một hộp, từ hộp đó rút ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đỏ đó được rút từ hộp 1.
Xem đáp án và lời giải
Hệ đầy đủ: $H_1, H_2$ là biến cố chọn hộp 1 và hộp 2. $P(H_1)=P(H_2)=0,5$.
Gọi $D$ là biến cố lấy được bi đỏ. $P(D|H_1)=\frac{3}{5}=0,6; P(D|H_2)=\frac{4}{8}=0,5$.
$P(D) = 0,5 \times 0,6 + 0,5 \times 0,5 = 0,3 + 0,25 = 0,55$.
$P(H_1|D) = \frac{0,3}{0,55} = \frac{6}{11}$.
Để lại một bình luận