Tính xác suất để linh kiện đạt tiêu chuẩn do nhà máy I sản xuất bằng công thức Bayes

Chuyên đề: Xác suất dùng công thức Bayes – Toán 12

1. Đề bài

Có hai nhà máy sản xuất cùng một loại linh kiện điện tử. Nhà máy I cung cấp 60% tổng số lượng linh kiện, nhà máy II cung cấp 40%. Tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là 95%, của nhà máy II là 90%. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện trên thị trường thì thấy nó là linh kiện đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất để linh kiện đó do nhà máy I sản xuất.

2. Dạng toán

Dạng toán tính xác suất của một biến cố nguyên nhân khi biết trước kết quả đã xảy ra (Ứng dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes).

3. Phương pháp giải

Lý thuyết và Công thức Bayes:

• Hệ đầy đủ các biến cố: Cho một phép thử, tập hợp các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và tổng của chúng là biến cố chắc chắn ($\sum_{i=1}^n P(A_i) = 1$).
• Công thức xác suất đầy đủ: Cho biến cố $B$ bất kỳ, ta có: $P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$.
• Công thức Bayes: Giúp ta đánh giá lại xác suất của các nguyên nhân $A_k$ khi biết kết quả $B$ đã xảy ra: $$P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}$$

Các bước giải bài toán:

• Bước 1: Gọi $A_1, A_2, \dots$ là hệ đầy đủ các biến cố (thường là nguồn gốc, nguyên nhân).
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố kết quả đề bài cho đã xảy ra.
• Bước 3: Tính $P(B)$ dựa vào giả thiết và công thức xác suất đầy đủ.
• Bước 4: Dùng công thức Bayes để tính xác suất cần tìm.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố “linh kiện do nhà máy I sản xuất”. Theo đề bài, $P(A_1) = 0.6$.

Gọi $A_2$ là biến cố “linh kiện do nhà máy II sản xuất”. Ta có $P(A_2) = 0.4$.

Hệ $\{A_1, A_2\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố.

Gọi $B$ là biến cố “linh kiện chọn ra đạt tiêu chuẩn”.

Theo giả thiết, tỉ lệ đạt tiêu chuẩn của nhà máy I và II lần lượt là 95% và 90%, tức là xác suất có điều kiện: $P(B|A_1) = 0.95$ và $P(B|A_2) = 0.90$.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, xác suất để chọn được một linh kiện đạt tiêu chuẩn là:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0.6 \times 0.95 + 0.4 \times 0.90 = 0.57 + 0.36 = 0.93$$

Áp dụng công thức Bayes, xác suất để linh kiện đạt tiêu chuẩn đó do nhà máy I sản xuất là:

$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.57}{0.93} = \frac{19}{31} \approx 0.6129$$

Kết luận: Xác suất để linh kiện đó do nhà máy I sản xuất là $\frac{19}{31}$ (khoảng 61,29%).

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Bệnh X có tỉ lệ mắc trong dân số là 1%. Một xét nghiệm T có độ nhạy 95% (tức người mắc bệnh xét nghiệm sẽ dương tính với xác suất 95%) và độ đặc hiệu 90% (tức người không mắc bệnh xét nghiệm sẽ âm tính với xác suất 90%). Một người làm xét nghiệm T cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh X.

Câu 2: Một hộp có 3 đồng xu: 2 đồng xu bình thường (xác suất ra mặt ngửa là 0.5) và 1 đồng xu giả (hai mặt đều ngửa, xác suất ra ngửa là 1). Lấy ngẫu nhiên 1 đồng xu và tung thì được mặt ngửa. Tính xác suất lấy được đồng xu giả.

Câu 3: Phân xưởng A sản xuất 30% sản phẩm, phân xưởng B sản xuất 70% sản phẩm của công ty. Tỉ lệ phế phẩm của A và B lần lượt là 2% và 4%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của công ty thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng B sản xuất.

Câu 4: Sinh viên An đi học bằng xe buýt với xác suất 0.4; đi bằng xe máy với xác suất 0.6. Nếu đi xe buýt, xác suất đi học muộn là 0.2. Nếu đi xe máy, xác suất đi học muộn là 0.05. Hôm nay An đi học muộn. Tính xác suất hôm nay An đi học bằng xe máy.

Câu 5: Trong 3 chiếc hộp bề ngoài giống hệt nhau: Hộp 1 có 4 bi đỏ và 6 bi xanh; Hộp 2 có 5 bi đỏ và 5 bi xanh; Hộp 3 có 8 bi đỏ và 2 bi xanh. Một người chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi thì được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đó được lấy ra từ hộp 3.