Tính xác suất màn hình lỗi thuộc nhà cung cấp Y bằng công thức Bayes

1. Lý thuyết và Công thức Bayes

Công thức Bayes (hay định lý Bayes) là một định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép tính xác suất của một nguyên nhân (hoặc giả thiết) khi biết trước một kết quả (hoặc biến cố) đã xảy ra. Đây được gọi là xác suất hậu nghiệm.

1.1. Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử hệ biến cố $A_1, A_2, …, A_n$ lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố, nghĩa là chúng xung khắc từng đôi một và tổng của chúng bằng không gian mẫu $\Omega$. Khi đó, với biến cố $B$ bất kỳ, ta có:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$$

1.2. Công thức Bayes

Nếu biến cố $B$ đã xảy ra ($P(B) > 0$), xác suất để biến cố $A_k$ xảy ra được tính bởi công thức:

$$P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)} = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$$

Trong đó: $P(A_k)$ là xác suất tiên nghiệm; $P(A_k|B)$ là xác suất hậu nghiệm.

2. 5 Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Xét nghiệm y tế

Đề bài: Một loại bệnh X có tỉ lệ mắc trong dân số là 1%. Phương pháp xét nghiệm có độ chính xác: Nếu mắc bệnh, tỉ lệ dương tính là 95%; nếu không mắc bệnh, tỉ lệ dương tính là 2%. Một người làm xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh X.

Lời giải: Gọi $A_1$: “Mắc bệnh” ($\Rightarrow P(A_1) = 0.01$). $A_2$: “Không mắc bệnh” ($\Rightarrow P(A_2) = 0.99$). Gọi $B$: “Kết quả dương tính”. Ta có $P(B|A_1) = 0.95$, $P(B|A_2) = 0.02$. Xác suất dương tính: $P(B) = 0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.02 = 0.0293$. Xác suất người đó mắc bệnh: $P(A_1|B) = \frac{0.0095}{0.0293} \approx 0.3242$.

Ví dụ 2: Lựa chọn hộp bi

Đề bài: Hộp 1 có 3 bi đỏ, 2 bi trắng. Hộp 2 có 4 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ đó lấy ra 1 bi thì được bi đỏ. Tính xác suất bi đỏ lấy từ hộp 1.

Lời giải: $A_i$: “Chọn hộp $i$”. $P(A_1) = P(A_2) = 0.5$. $B$: “Lấy được bi đỏ”. $P(B|A_1) = \frac{3}{5} = 0.6$; $P(B|A_2) = \frac{4}{8} = 0.5$. Xác suất lấy được bi đỏ: $P(B) = 0.5 \times 0.6 + 0.5 \times 0.5 = 0.55$. Xác suất hộp 1: $P(A_1|B) = \frac{0.3}{0.55} = \frac{6}{11} \approx 0.5455$.

Ví dụ 3: Ba máy sản xuất

Đề bài: Máy I, II, III sản xuất lần lượt 20%, 30%, 50% sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 2%, 3%, 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm được phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm do máy II sản xuất.

Lời giải: $A_i$: “Sản phẩm do máy $i$ sản xuất”. $B$: “Phế phẩm”. $P(B) = 0.2 \times 0.02 + 0.3 \times 0.03 + 0.5 \times 0.04 = 0.033$. Xác suất máy II: $P(A_2|B) = \frac{0.3 \times 0.03}{0.033} = \frac{0.009}{0.033} = \frac{3}{11} \approx 0.2727$.

Ví dụ 4: Email rác

Đề bài: Hộp thư nhận 40% là email rác, 60% email bình thường. Email rác có 80% chứa từ ‘miễn phí’. Email bình thường có 5% chứa từ ‘miễn phí’. Biết email vừa nhận chứa từ ‘miễn phí’, tính xác suất đó là email rác.

Lời giải: $A_1$: “Email rác”, $P(A_1)=0.4$. $A_2$: “Email bình thường”, $P(A_2)=0.6$. $B$: “Chứa từ ‘miễn phí'”. $P(B) = 0.4 \times 0.8 + 0.6 \times 0.05 = 0.35$. Xác suất email rác: $P(A_1|B) = \frac{0.32}{0.35} = \frac{32}{35} \approx 0.9143$.

Ví dụ 5: Tỉ lệ đạt yêu cầu

Đề bài: Lớp 12A có 30 nam và 20 nữ. Tỉ lệ đạt điểm giỏi của nam là 15%, của nữ là 25%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh thấy đạt điểm giỏi. Tính xác suất học sinh đó là nữ.

Lời giải: $A_1$: “Nam” ($P(A_1)=0.6$); $A_2$: “Nữ” ($P(A_2)=0.4$). $B$: “Đạt điểm giỏi”. $P(B) = 0.6 \times 0.15 + 0.4 \times 0.25 = 0.19$. Xác suất nữ: $P(A_2|B) = \frac{0.1}{0.19} = \frac{10}{19} \approx 0.5263$.

3. Bài toán mới và cách giải

1. Đề bài

Tại một cửa hàng điện thoại, có hai lô hàng màn hình từ nhà cung cấp $X$ và $Y$. Lô $X$ chiếm 70% tổng số màn hình, lô $Y$ chiếm 30%. Tỉ lệ màn hình bị lỗi từ nhà cung cấp $X$ là 3%, từ nhà cung cấp $Y$ là 5%. Khách hàng mua ngẫu nhiên một chiếc màn hình và phát hiện nó bị lỗi. Tính xác suất chiếc màn hình đó là của nhà cung cấp $Y$.

2. Dạng toán

Bài toán tính xác suất hậu nghiệm sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes (Toán 12 – Chương trình mới).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Thiết lập hệ biến cố đầy đủ. Gọi $A_1, A_2$ lần lượt là biến cố màn hình thuộc nhà cung cấp $X$ và $Y$.
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố quan sát được (màn hình bị lỗi). Tóm tắt các xác suất đã biết.
• Bước 3: Tính $P(B)$ theo công thức xác suất đầy đủ: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes tính $P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố ‘Màn hình thuộc nhà cung cấp $X$’.

Gọi $A_2$ là biến cố ‘Màn hình thuộc nhà cung cấp $Y$’.

Hệ biến cố $A_1, A_2$ là nhóm biến cố đầy đủ. Ta có: $P(A_1) = 0.7$ và $P(A_2) = 0.3$.

Gọi $B$ là biến cố ‘Màn hình bị lỗi’. Theo đề bài ta có:

– Tỉ lệ lỗi của nhà cung cấp $X$: $P(B|A_1) = 0.03$.

– Tỉ lệ lỗi của nhà cung cấp $Y$: $P(B|A_2) = 0.05$.

Xác suất một chiếc màn hình chọn ngẫu nhiên bị lỗi là:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0.7 \times 0.03 + 0.3 \times 0.05 = 0.021 + 0.015 = 0.036$$

Xác suất để màn hình lỗi đó là của nhà cung cấp $Y$ (áp dụng công thức Bayes):

$$P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{0.015}{0.036} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0.4167$$

Vậy xác suất chiếc màn hình bị lỗi thuộc về nhà cung cấp $Y$ là $\frac{5}{12}$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Có 2 hộp đựng thẻ. Hộp I có 4 thẻ xanh, 3 thẻ vàng. Hộp II có 5 thẻ xanh, 2 thẻ vàng. Chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó rút ngẫu nhiên 1 thẻ thì được thẻ vàng. Tính xác suất thẻ vàng này rút từ hộp I.

Câu 2: Một công ty có hai dây chuyền: dây chuyền 1 đóng 60% sản phẩm, dây chuyền 2 đóng 40%. Tỉ lệ đóng gói lỗi ở dây chuyền 1 là 1.5%, dây chuyền 2 là 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên thấy một sản phẩm lỗi. Tính xác suất nó được đóng gói bởi dây chuyền 1.

Câu 3: Tỉ lệ nam và nữ ở một vùng là 48% nam, 52% nữ. Tỉ lệ người mắc bệnh M ở nam giới là 5%, ở nữ giới là 3%. Một người ngẫu nhiên mắc bệnh M. Tính xác suất người đó là nam giới.

Câu 4: Học sinh biết làm 60% số câu hỏi (xác suất đúng 100%). Khi không biết làm, đoán mò có xác suất đúng là 25%. Cậu bé chọn đúng câu 1, tính xác suất thực sự biết làm câu này.

Câu 5: Phòng khám có 3 nguồn test: 30% từ cty A, 50% từ cty B, 20% từ cty C. Tỉ lệ test hỏng tương ứng là 1%, 2%, 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 bộ test thấy bị hỏng. Tính xác suất bộ test này của công ty C.