Tại một nhà máy, gọi ${C(x)}$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất ${x}$ tấn sản phẩm ${{A}}$ trong một tháng

Tại một nhà máy, gọi ${C(x)}$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất ${x}$ tấn sản phẩm ${{A}}$ trong một tháng. Khi đó, đạo hàm ${C^{\prime}(x)}$, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức ${{C}^{\prime }}(x)=5-0,06x+0,00072{{x}^{2}}\text{, }0\le x\le 150.$ Biết rằng ${C(0)=30}$ triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.
Lời giải Ta có: ${\begin{align} C(100)-C(0) & =\int\limits_0^{100} C^{\prime}(x) {d} x=\int\limits_0^{100}\left(5-0,06 x+0,00072 x^2\right) {d} x \\ & =5 \int\limits_0^{100} {~d} x-0,06 \int\limits_0^{100} x {~d} x+0,00072 \int\limits_0^{100} x^2 {~d} x \\ & =\left.5 x\right|_0 ^{100}-0,\left.03 x^2\right|_0 ^{100}+0,\left.00024 x^3\right|_0 ^{100}=440 . \end{align} }$ Suy ra ${C(100)=C(0)+440=30+440=470}$ (triệu đồng).
Vậy khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phí là 470 triệu đồng.