Nhà Tít có một bồn chứa nước hình trụ cao 300 cm, đường kính 60 cm

Nhà Tít có một bồn chứa nước hình trụ cao 300 cm, đường kính 60 cm. Bồn đầy nước thì bạn Tí vô ý mở van xả. Mực nước hạ với vận tốc $h\prime (t)=\frac{1}{54}t-\frac{10}{3}$ ($t$ tính bằng phút, ${{h}^{\prime }}(t)$ cm/ phút). Sau 1,5 giờ (tức 90 phút) thì Tít mới phát hiện sự cố. Hỏi lượng nước đã mất là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Lời giải
Trả lời: 636 Tìm ${h(t)}$: Tích phân vận tốc: $h(t)=\int{\left( \frac{1}{54}t-\frac{10}{3} \right)}dt=\frac{1}{108}{{t}^{2}}-\frac{10}{3}t+C$ Do bồn ban đầu đầy ${h(0)=300 \Rightarrow C=300}$.
Vậy $h(t)=\frac{1}{108}{{t}^{2}}-\frac{10}{3}t+300$ Lượng nước mất sau 1,5 giờ: Độ giảm mực nước: $\Delta h=\int_{0}^{90}{{{h}^{\prime }}}(t)dt=\left. h(t) \right|_{0}^{90}=h(90)-(0)=75-300=-225~cm$ Bán kính bồn ${r=30 {~cm}}$. Thể tích nước mất (một hình trụ cao 225 cm): $\Delta V=\pi {{r}^{2}}\Delta h=\pi \cdot {{30}^{2}}\cdot 225=202500\pi ~c{{m}^{3}}\approx 636173~c{{m}^{3}}\approx 636\text{ l }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ t}\text{. }$ Kết luận: Nước bị thất thoát xấp xỉ 636 lít.