Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $168$ m, tốc độ của ô tô là $30$ km/h. $3$ giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t) = at + b$ ($a, b \in \mathbb{R}, a {>} 0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau $14$ giây và duy trì sự tăng tốc trong $27$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là $133$ m.
b) Giá trị của $b$ là $\dfrac{28}{3}$.
c) Quãng đường $s(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây ($0 \leq t \leq 27$) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \int\limits_{0}^{27} v(t) \text{d}t.
d) Sau$27$giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô vượt quá tốc độ tối đa cho phép là$56.1$km/h.
Lời giải:
a) Tốc độ ban đầu của ô tô là$30$km/h =$\dfrac{25}{3}$m/s. Quãng đường ô tô đi được trong$3$giây đầu tiên là$S_1=\dfrac{25}{3} \cdot 3 =25$m. Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là $S_2=168-25=143$m.
b) Ta có$v(t) = at + b$. (m/s). Thời điểm bắt đầu tăng tốc ta có$t = 0, v = \dfrac{25}{3} \Rightarrow v(0) = b = \dfrac{25}{3}$.
c) Do$v(t) {>} 0$với$0 \leq t \leq 27$, do đó quãng đường$s(t)$mà ô tô đi được trong thời gian$t$giây ($0 \leq t \leq 27$) kể từ khi tăng tốc tính theo công thức:$S(t) = \int\limits_0^t v(t)\text{d}t$. Còn công thức$S(t) = \int\limits_{0}^{27} v(t)\text{d}t$là quãng đường ô tô đi được trong$27$giây.
d) Ta có$v(t) = at + \dfrac{25}{3}$. Biết xe nhập làn sau$14$giây kể từ lúc tăng tốc, nên $143 = \int\limits_0^{14} \left(at + \dfrac{25}{3}\right)\text{d}t = \left( \dfrac{at^2}{2} + \dfrac{25}{3}t \right) \left| \begin{matrix} 14 \\ 0 \\ \end{matrix} \right. = 98a+\dfrac{350}{3} \Rightarrow a = \dfrac{79}{294}$. $\Rightarrow v(t) = \dfrac{79}{294} t + \dfrac{25}{3}$(m/s). Tốc độ của ô tô sau$27$giây là $v(27) = 27 \cdot \dfrac{79}{294} + \dfrac{25}{3} = 15.6$m/s$= 56.1$km/h${>} 47.8$km/h.(Sai) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là$133$m(Vì): Tốc độ ban đầu của ô tô là$30$km/h =$\dfrac{25}{3}$m/s. Quãng đường ô tô đi được trong$3$giây đầu tiên là$S_1=\dfrac{25}{3} \cdot 3 =25$m. Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là $S_2=168-25=143$m.(Sai) Giá trị của$b$là$\dfrac{28}{3}$(Vì): Ta có$v(t) = at + b$. (m/s). Thời điểm bắt đầu tăng tốc ta có$t = 0, v = \dfrac{25}{3} \Rightarrow v(0) = b = \dfrac{25}{3}$.(Sai) Quãng đường$s(t)$(đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian$t$giây ($0 \leq t \leq 27$) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức$S(t) = \int\limits_{0}^{27} v(t) \text{d}t (Vì): Do $v(t) {>} 0$ với $0 \leq t \leq 27$, do đó quãng đường $s(t)$ mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây ($0 \leq t \leq 27$) kể từ khi tăng tốc tính theo công thức: $S(t) = \int\limits_0^t v(t)\text{d}t$. Còn công thức $S(t) = \int\limits_{0}^{27} v(t)\text{d}t$ là quãng đường ô tô đi được trong $27$ giây. (Sai) Sau $27$ giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $56.1$ km/h (Vì): Tốc độ của ô tô sau $27$ giây là $v(27) = 27 \cdot \dfrac{79}{294} + \dfrac{25}{3} = 15.6$ m/s $= 56.1$ km/h. Vì $v(27) = 56.1$ km/h, nên nó không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $56.1$ km/h.