Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Khi đó
a) $F(
a)- F(
b) =\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{d} x$.
b) $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm{d}x =\displaystyle \int\limits_a^c f(x) \mathrm{d} x- \displaystyle \int\limits_b^c f(x) \mathrm{d} x$ với $a{<}c{<}b$.
c) $\displaystyle \int\limits_a^b k \cdot f(x) \mathrm {d} x= k+ \displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm {d} x$.
d) $\displaystyle \int\limits_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x= 2 \displaystyle\int\limits_0^a f(x) \mathrm{d} x$ với mọi hàm số $y=f(x)$ lẻ trên $[-a;a]$.

Lời giải:

(Sai) $F(
a)- F(
b) =\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (Vì): Vì $F(
a)- F(
b) =\displaystyle\int\limits_b^a f(x) \mathrm{d} x$. (Đúng) $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm{d}x =\displaystyle \int\limits_a^c f(x) \mathrm{d} x- \displaystyle \int\limits_b^c f(x) \mathrm{d} x$ với $a{<}c{<}b$ (Vì): Vì $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm{d}x =\displaystyle \int\limits_a^c f(x) \mathrm{d} x+ \displaystyle \int\limits_c^b f(x) \mathrm{d} x =\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm{d}x =\displaystyle \int\limits_a^c f(x) \mathrm{d} x- \displaystyle \int\limits_b^c f(x) \mathrm{d} x$. (Sai) $\displaystyle \int\limits_a^b k \cdot f(x) \mathrm {d} x= k+ \displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm {d} x$ (Vì): $\displaystyle \int\limits_a^b k \cdot f(x) \mathrm {d} x= k \cdot \displaystyle \int\limits_a^b f(x) \mathrm {d} x$ (Sai) $\displaystyle \int\limits_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x= 2 \displaystyle\int\limits_0^a f(x) \mathrm{d} x$ với mọi hàm số $y=f(x)$ lẻ trên $[-a;a]$ (Vì): Vì nếu $y=f(x)=x$ là hàm số lẻ trên $[-a;a]$ thì $\displaystyle \int\limits_{-a}^a x \mathrm{d} x= 0$ và $2 \displaystyle\int\limits_{0}^a x \mathrm{d} x = a^2 \neq 0$ với $a \neq 0$.