Cho hàm số $f(x)=- 5 \sin{x } + \cos{x }$.
a) $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ không phải là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.
b) $F\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{5}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
c) $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2 + 3 \sqrt{2}$.
d) $\displaystyle \int \limits_{- \dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{4}} f(x) \text{d}x=- \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 3 \sqrt{2}$.
Lời giải:
a) Vì $F'(x)=(\sin{x } + 5 \cos{x } + 1)’=\cos{x } – 5 \sin{x }$ nên hàm số $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.
b) Ta có $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ nên $F\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(- \dfrac{\pi}{3}\right) + 5 \cos\left(- \dfrac{\pi}{3}\right) + 1 = – \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{7}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
c) $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + 5 \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + 1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} + 1 = 3\sqrt{2} + 1$.
d) Ta có $\displaystyle \int \limits_{- \dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{4}} f(x) \text{d}x=F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-F\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)=\left(1 + 3\sqrt{2}\right)-\left(\dfrac{7}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 + 3\sqrt{2} – \dfrac{7}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}=- \dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 3 \sqrt{2}$. (Sai) $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ không phải là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ (Vì): Vì $F'(x)=(\sin{x } + 5 \cos{x } + 1)’=\cos{x } – 5 \sin{x }$ nên hàm số $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. (Sai) $F\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{5}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (Vì): Ta có $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ nên $F\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(- \dfrac{\pi}{3}\right) + 5 \cos\left(- \dfrac{\pi}{3}\right) + 1 = – \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{7}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. (Sai) $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2 + 3 \sqrt{2}$ (Vì): Ta có $F(x)=\sin{x } + 5 \cos{x } + 1$ nên $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + 5 \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + 1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} + 1 = 3\sqrt{2} + 1$. (Sai) $\displaystyle \int \limits_{- \dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{4}} f(x) \text{d}x=- \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 3 \sqrt{2}$ (Vì): Ta có $\displaystyle \int \limits_{- \dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{4}} f(x) \text{d}x=F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-F\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)=\left(1 + 3\sqrt{2}\right)-\left(\dfrac{7}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 + 3\sqrt{2} – \dfrac{7}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}=- \dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 3 \sqrt{2}$.