Người ta muốn làm một cái hộp hình chữ nhật không có nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng và có thể tích $100\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$

Người ta muốn làm một cái hộp hình chữ nhật không có nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng và có thể tích $100\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$. Giả sử giá tiền vật liệu làm đáy hộp là 10000VNĐ/ ${{m}^{2}}$ và giá tiền vật liệu làm mặt bên là 5000 VNĐ/ ${{m}^{2}}$. Gọi x (cm) là chiều rộng, y(cm) chiều cao của hộp và T là tổng tiền chi phí để làm hộp. Xác định tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a) Thể tích khối hộp đã cho là: $V={{x}^{2}}y$ $(\text{c}{{\text{m}}^{3}})$.

b) Tổng tiền chi phí làm hộp là $T=2{{x}^{2}}+\dfrac{150}{x}$ (VNĐ).

c) Để chi phí làm hộp nhỏ nhất thì chiều cao của hộp là $4,46$ $(\text{cm})$.

d) Giá tiền vật liệu làm đáy hộp là $20000{{x}^{2}}$ (VNĐ).

Lời giải:
Gọi $x$ (cm) là chiều rộng, $2x$ (cm) là chiều dài, $y$ (cm) là chiều cao của hộp.
Thể tích khối hộp là $V = x \cdot (2x) \cdot y = 2x^2y$ $(\text{cm}^3)$.
Theo giả thiết, thể tích là $100\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$, nên $2x^2y=100 \Leftrightarrow y=\dfrac{50}{x^2}$.
Diện tích đáy hộp là $S_{đáy} = x \cdot (2x) = 2x^2$ $(\text{cm}^2)$.
Đổi đơn vị: $1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$. Vậy $S_{đáy} = 2x^2 \cdot 10^{-4}$ $(\text{m}^2)$.
Giá tiền vật liệu làm đáy hộp là 10000 VNĐ/$\text{m}^2$.
Chi phí làm đáy hộp là $T_{đáy} = 2x^2 \cdot 10^{-4} \cdot 10000 = 2x^2$ (VNĐ).
Diện tích xung quanh của hộp (không có nắp) là tổng diện tích 4 mặt bên.
$S_{xq} = 2 \cdot (x \cdot y) + 2 \cdot (2x \cdot y) = 2xy + 4xy = 6xy$ $(\text{cm}^2)$.
Đổi đơn vị: $S_{xq} = 6xy \cdot 10^{-4}$ $(\text{m}^2)$.
Giá tiền vật liệu làm mặt bên là 5000 VNĐ/$\text{m}^2$.
Chi phí làm mặt bên là $T_{xq} = 6xy \cdot 10^{-4} \cdot 5000 = 3xy$ (VNĐ).
Tổng chi phí để làm hộp là $T = T_{đáy} + T_{xq} = 2x^2 + 3xy$.
Thay $y=\dfrac{50}{x^2}$ vào biểu thức $T$, ta được $T(x) = 2x^2 + 3x \left(\dfrac{50}{x^2}\right) = 2x^2 + \dfrac{150}{x}$ (VNĐ).
Để chi phí làm hộp nhỏ nhất, ta xét hàm số $T(x) = 2x^2 + \dfrac{150}{x}$ với $x {>} 0$.
Đạo hàm của $T(x)$ là $T'(x) = 4x – \dfrac{150}{x^2}$.
Để tìm cực tiểu, đặt $T'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x – \dfrac{150}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 4x^3 = 150 \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{150}{4} = \dfrac{75}{2}$.
Suy ra $x = \sqrt[3]{\dfrac{75}{2}}$ (cm).
Bảng biến thiên của hàm số $T(x)$:
| $x$ | $0$ | | $\sqrt[3]{\dfrac{75}{2}}$ | | $+\infty$ |
|—|—|—|—|—|—|
| $T'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $T(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $T_{min}$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Dựa vào bảng biến thiên, chi phí làm hộp nhỏ nhất đạt được tại $x = \sqrt[3]{\dfrac{75}{2}}$.
Khi đó, chiều cao của hộp là $y = \dfrac{50}{x^2} = \dfrac{50}{\left(\sqrt[3]{\dfrac{75}{2}}\right)^2} = 50 \cdot \left(\dfrac{2}{75}\right)^{2/3} \approx 4,46$ $(\text{cm})$.
(Sai) Thể tích khối hộp đã cho là: $V={{x}^{2}}y$ $(\text{c}{{\text{m}}^{3}})$
(Vì): Khối hộp có chiều rộng là $x$ (cm), chiều dài là $2x$ (cm) và chiều cao là $y$ (cm). Khi đó, thể tích khối hộp là $V=(2x)(x)y = 2{{x}^{2}}y$ $(\text{c}{{\text{m}}^{3}})$. Do đó, khẳng định $V={{x}^{2}}y$ là sai.
(Đúng) Tổng tiền chi phí làm hộp là $T=2{{x}^{2}}+\dfrac{150}{x}$ (VNĐ).
(Vì): Chi phí làm đáy hộp là $T_{đáy} = 2{{x}^{2}}$ (VNĐ). Chi phí làm mặt bên là $T_{xq} = 3xy$ (VNĐ). Tổng chi phí làm hộp là $T = 2{{x}^{2}} + 3xy$. Vì thể tích $V = 100 \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}y = 100 \Leftrightarrow y = \dfrac{50}{{{x}^{2}}}$, nên $T = 2{{x}^{2}} + 3x \left(\dfrac{50}{{{x}^{2}}}\right) = 2{{x}^{2}} + \dfrac{150}{x}$ (VNĐ). Do đó, khẳng định này là đúng.
(Đúng) Để chi phí làm hộp nhỏ nhất thì chiều cao của hộp là $4,46$ $(\text{cm})$
(Vì): Để chi phí làm hộp nhỏ nhất, ta xét hàm số $T=2{{x}^{2}}+\dfrac{150}{x}$ với $x {>} 0$. Đạo hàm $T’ = 4x – \dfrac{150}{{{x}^{2}}}$. Đặt $T’=0 \Leftrightarrow 4x^3 = 150 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{75}{2}}$. Khi đó, chiều cao của hộp là $y = \dfrac{50}{{{x}^{2}}} = \dfrac{50}{\left(\sqrt[3]{\dfrac{75}{2}}\right)^{2}} = 50 \cdot \left(\dfrac{2}{75}\right)^{2/3} \approx 4,46$ $(\text{cm})$. Do đó, khẳng định này là đúng.
(Sai) Giá tiền vật liệu làm đáy hộp là $20000{{x}^{2}}$ (VNĐ)
(Vì): Diện tích đáy hộp là $S_{đáy} = x \cdot (2x) = 2{{x}^{2}}$ $(\text{c}{{\text{m}}^{2}}) = 2{{x}^{2}} \cdot {{10}^{-4}}$ $({\text{m}}^{2})$. Chi phí làm đáy hộp là $T_{đáy} = 2{{x}^{2}} \cdot {{10}^{-4}} \cdot 10000 = 2{{x}^{2}}$ (VNĐ). Do đó, khẳng định giá tiền vật liệu làm đáy hộp là $20000{{x}^{2}}$ (VNĐ) là sai.