Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích $V$ (lít) của lượng xăng trong bình xăng được tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) được cho bởi công thức:
$V\left( t \right)=300\left( {{t}^{2}}-{{t}^{3}} \right)+4$ với $0\le t\le 0,5$
Gọi ${V}’\left( t \right)$ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $t$ với $0\le t\le 0,5$

a) Lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là $1$ lít.

b) Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $41,5$ lít.

c) ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)+4$, với $0\le t\le 0,5$.

d) Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ $20$ có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Lời giải: (a) Sai: Số xăng trong bình ban đầu là $V\left( 0 \right)=4$ lít
(b) Đúng: Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $V=V\left( \dfrac{1}{2} \right)=41,5$ lít
(c) Sai: Xét hàm số $V\left( t \right)=300\left( {{t}^{2}}-{{t}^{3}} \right)+4$ với $0\le t\le 0,5$
Đạo hàm ${V}’\left( t \right)=300t\left( 2-3t \right)$
(d) Đúng: Cho ${V}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow 300t\left( 2-3t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=0\in \left[ 0;0,5 \right] \\ t=\dfrac{2}{3}\in \left[ 0;0,5 \right] \end{array} \right.$
Các giá trị $V\left( 0 \right)=4;V\left( \dfrac{1}{2} \right)=41,5$
Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ $30$ có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.
(Sai) Lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là $1$ lít.
(Vì): Số xăng trong bình ban đầu là $V\left( 0 \right)=300\left( {{0}^{2}}-{{0}^{3}} \right)+4 = 4$ lít.
(Đúng) Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $41,5$ lít.
(Vì): Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $V\left( \dfrac{1}{2} \right)=300\left( {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{3}} \right)+4 = 300\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8} \right)+4 = 300\left( \dfrac{1}{8} \right)+4 = 37,5+4 = 41,5$ lít.
(Sai) ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)+4$, với $0\le t\le 0,5$.
(Vì): Đạo hàm ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)$.
(Đúng) Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ $20$ có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.
(Vì): Để tìm thời điểm tốc độ tăng thể tích là lớn nhất, ta tìm giá trị lớn nhất của ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)$ trên đoạn $\left[ 0;0,5 \right]$. Đặt $f\left( t \right)=2t-3{{t}^{2}}$, $f’\left( t \right)=2-6t$. Cho $f’\left( t \right)=0 \Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$. Giá trị $f\left( 0 \right)=0$, $f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{3}$, $f\left( 0,5 \right)=0,25$. Giá trị lớn nhất của $f(t)$ là $\dfrac{1}{3}$ tại $t=\dfrac{1}{3}$ phút (20 giây). Tốc độ tăng thể tích lớn nhất tại $t=20$ giây, không phải $30$ giây.