Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau ${t}$ giờ ${(t \geq 0)}$ khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số $y\left( t \right)=5-\dfrac{15t}{9{{t}^{2}}+1}.$ (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

a) Vào thời điểm $t=1$ thì nồng độ oxygen trong nước là $4,5$ (mg/l)
.

b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước có thể vượt quá $5$ (mg/l)
.

c) Vào thời điểm ${t=0}$ thì nồng độ oxygen trong nước không phải là cao nhất
.

d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là $3,5$ (mg/l)
.

Lời giải:
Xét $y\left( t \right)=5-\dfrac{15t}{9{{t}^{2}}+1}$ trên nửa đoạn ${[0 ;+\infty)}$ có ${y}’\left( t \right)=\dfrac{135{{t}^{2}}-15}{{{\left( 9{{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} t=\dfrac{1}{3} \\ t=-\dfrac{1}{3}(loai) \end{array} \right.$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy $\min\limits_{[0;+\infty )}y\left( t \right)=y\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{5}{2}$ và $\max\limits_{_{[0;+\infty )}}y\left( t \right)=y\left( 0 \right)=5$
Vậy vào các thời điểm ${t=0}$ thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và ${t=\dfrac{1}{3}}$ giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất.

(Sai) Vào thời điểm $t=1$ thì nồng độ oxygen trong nước là $4,5$ (mg/l)

(Vì): Sai: Vào thời điểm $t=1$ thì nồng độ oxygen trong nước là $y(1) = 5 – \dfrac{15 \cdot 1}{9 \cdot 1^2 + 1} = 5 – \dfrac{15}{10} = 3,5$ (mg/l).
(Sai) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước có thể vượt quá $5$ (mg/l)

(Vì): Sai: Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước không thể vượt quá $5$ (mg/l) vì $\max\limits_{_{[0;+\infty )}}y\left( t \right)=5$.
(Sai) Vào thời điểm ${t=0}$ thì nồng độ oxygen trong nước không phải là cao nhất

(Vì): Sai: Vào thời điểm ${t=0}$ thì nồng độ oxygen trong nước là cao nhất vì $\max\limits_{_{[0;+\infty )}}y\left( t \right)=y\left( 0 \right)=5$.
(Sai) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là $3,5$ (mg/l)

(Vì): Sai: Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là $2,5$ (mg/l).