Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích $V$ (lít) của lượng xăng trong bình xăng được tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) được cho bởi công thức:
$V\left( t \right)=300\left( {{t}^{2}}-{{t}^{3}} \right)+4$ với $0\le t\le 0,5$
Gọi ${V}’\left( t \right)$ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $t$ với $0\le t\le 0,5$

a) Lượng xăng ban đầu trong bình là $4$ lít.

b) Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $41,5$ lít.

c) ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)+4$, với $0\le t\le 0,5$.

d) Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ $20$ có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Lời giải:
Thể tích xăng trong bình được cho bởi công thức $V\left( t \right)=300\left( {{t}^{2}}-{{t}^{3}} \right)+4$ với $0\le t\le 0,5$.
Tốc độ tăng thể tích là ${V}’\left( t \right)=\dfrac{d}{dt}\left( 300\left( {{t}^{2}}-{{t}^{3}} \right)+4 \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)$.
**Phân tích các phương án:**
– **Lượng xăng ban đầu:** Thay $t=0$ vào $V(t)$, ta có $V\left( 0 \right)=300\left( {{0}^{2}}-{{0}^{3}} \right)+4=4$ lít.
– **Lượng xăng lớn nhất:** Để tìm lượng xăng lớn nhất, ta xét $V(t)$ trên đoạn $[0; 0,5]$.
${V}’\left( t \right)=300t\left( 2-3t \right)$.
Đặt ${V}’\left( t \right)=0 \Rightarrow 300t\left( 2-3t \right)=0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t=0 \\ t=\dfrac{2}{3} \end{array} \right.$.
Do $t \in \left[ 0;0,5 \right]$, nên ta chỉ xét $t=0$. Giá trị $t=\dfrac{2}{3}$ nằm ngoài khoảng.
Tuy nhiên, hàm số $V(t)$ là hàm liên tục trên đoạn $[0; 0,5]$, giá trị lớn nhất có thể đạt tại các điểm đầu mút hoặc điểm cực trị trong khoảng.
$V(0) = 4$ lít.
$V(0,5) = 300(0,5^2 – 0,5^3) + 4 = 300(0,25 – 0,125) + 4 = 300(0,125) + 4 = 37,5 + 4 = 41,5$ lít.
Vậy lượng xăng lớn nhất bơm vào bình là $41,5$ lít.
– **Tốc độ tăng thể tích lớn nhất:** Để tìm tốc độ tăng thể tích lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)$ trên đoạn $[0; 0,5]$.
Ta tính đạo hàm cấp hai ${V}”\left( t \right)=\dfrac{d}{dt}\left( 300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right) \right)=300\left( 2-6t \right)$.
Đặt ${V}”\left( t \right)=0 \Rightarrow 300\left( 2-6t \right)=0 \Rightarrow 2-6t=0 \Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$ phút.
Giá trị $t=\dfrac{1}{3}$ phút tương đương với $20$ giây.
So sánh các giá trị của ${V}'(t)$ tại các điểm $t=0$, $t=0,5$ (đầu mút) và $t=1/3$ (cực trị):
${V}’\left( 0 \right)=300\left( 2\cdot 0-3\cdot {{0}^{2}} \right)=0$.
${V}’\left( 0,5 \right)=300\left( 2\cdot 0,5-3\cdot {{0,5}^{2}} \right)=300\left( 1-0,75 \right)=300\cdot 0,25=75$.
${V}’\left( \dfrac{1}{3} \right)=300\left( 2\cdot \dfrac{1}{3}-3\cdot {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}} \right)=300\left( \dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{9} \right)=300\left( \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3} \right)=300\cdot \dfrac{1}{3}=100$.
Vậy tốc độ tăng thể tích lớn nhất là $100$ lít/phút, đạt được tại $t=\dfrac{1}{3}$ phút hay $20$ giây.
(Đúng) Lượng xăng ban đầu trong bình là $4$ lít.
(Vì): Số xăng trong bình ban đầu là $V\left( 0 \right)=4$ lít.
(Đúng) Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $41,5$ lít.
(Vì): Lượng xăng lớn nhất bơm vào bình xăng là $V=V\left( \dfrac{1}{2} \right)=300\left( {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{3}} \right)+4=300\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8} \right)+4=300\cdot \dfrac{1}{8}+4=37,5+4=41,5$ lít.
(Sai) ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)+4$, với $0\le t\le 0,5$.
(Vì): Đạo hàm ${V}’\left( t \right)=\dfrac{d}{dt}\left( 300\left( {{t}^{2}}-{{t}^{3}} \right)+4 \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)$, không có số hạng $+4$.
(Đúng) Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ $20$ có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.
(Vì): Tốc độ tăng thể tích là ${V}’\left( t \right)=300\left( 2t-3{{t}^{2}} \right)$. Để tìm giá trị lớn nhất của ${V}'(t)$, ta xét ${V}”\left( t \right)=300\left( 2-6t \right)$.
Cho ${V}”\left( t \right)=0\Leftrightarrow 2-6t=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$ phút.
Vì $t=\dfrac{1}{3}$ phút $= 20$ giây, và ${V}’\left( 0 \right)=0$, ${V}’\left( 0,5 \right)=75$, ${V}’\left( \dfrac{1}{3} \right)=100$. Vậy tốc độ tăng thể tích lớn nhất tại $t=20$ giây.