Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+7t-2$, trong đó ${t{>}0}$ và tính bằng giây

Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+7t-2$, trong đó ${t{>}0}$ và tính bằng giây và ${s}$ là quãng đường chuyển động được của vật trong ${t}$ giây tính bằng mét. Khi đó:

a) Thời điểm ${t=2}$ tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng ${16 {m} / {s}^2}$ là $12\left( m/{{s}^{2}} \right)$.

c) Vận tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$ là ${v(2)=s^{\prime}(2)=3 \cdot 2^2-6 \cdot 2+7=7({m} / {s})}$.

d) Gia tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$ là ${a(2)=v^{\prime}(2)=s^{\prime \prime}(2)=6 \cdot 2-6=6\left({m} / {s}^2\right)}$.

Lời giải:
Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t) = s'(t) = (t^3 – 3t^2 + 7t – 2)’ = 3t^2 – 6t + 7$.
Gia tốc của vật là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: $a(t) = v'(t) = (3t^2 – 6t + 7)’ = 6t – 6$.
1. **Thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất:**
Để tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất, ta xét đạo hàm của vận tốc: $v'(t) = 6t – 6$.
Đặt $v'(t) = 0 \Leftrightarrow 6t – 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.
Bảng biến thiên của $v(t)$ trên khoảng ${t{>}0}$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $v'(t)$ âm khi $0{<}{t{}1}$.
Vậy $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=1$. Giá trị nhỏ nhất là $v(1) = 3(1)^2 – 6(1) + 7 = 3 – 6 + 7 = 4 (m/s)$.
2. **Gia tốc khi vận tốc bằng $16 m/s^2$:**
Tìm thời điểm $t$ sao cho $v(t) = 16$:
$3t^2 – 6t + 7 = 16 \Leftrightarrow 3t^2 – 6t – 9 = 0 \Leftrightarrow t^2 – 2t – 3 = 0$.
Phương trình có hai nghiệm $t=3$ và $t=-1$. Vì ${t{>}0}$, ta chọn $t=3$.
Gia tốc tại thời điểm $t=3$ là $a(3) = 6(3) – 6 = 18 – 6 = 12 (m/s^2)$.
3. **Vận tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$:**
$v(2) = 3(2^2) – 6(2) + 7 = 12 – 12 + 7 = 7 (m/s)$.
4. **Gia tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$:**
$a(2) = 6(2) – 6 = 12 – 6 = 6 (m/s^2)$.
(Sai) Thời điểm ${t=2}$ tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.
(Vì): Vận tốc của chuyển động có phương trình $v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+7$. Có ${v}’\left( t \right)=6t-6=0\Leftrightarrow t=1$. Từ bảng biến thiên (trong lời giải) suy ra hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại ${t=1}$, không phải tại ${t=2}$.
(Đúng) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng ${16 {m} / {s}^2}$ là $12\left( m/{{s}^{2}} \right)$.
(Vì): Vận tốc của chuyển động bằng ${16 {m} / {s}^2}$ tại thời điểm ${t}$ nghĩa là: $v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=16\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t+7=16\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0 \Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-3=0 \Leftrightarrow (t-3)(t+1)=0$. Vì ${t{>}0}$ nên $t=3$. Gia tốc của vật tại thời điểm ${t=3}$ là: $a\left( 3 \right)={v}’\left( 3 \right)={{s}’}’\left( 3 \right)=6 \cdot 3-6=12\left( m/{{s}^{2}} \right)$.
(Đúng) Vận tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$ là ${v(2)=s^{\prime}(2)=3 \cdot 2^2-6 \cdot 2+7=7({m} / {s})}$.
(Vì): Vận tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$ là: $v\left( 2 \right)={s}’\left( 2 \right)={{3 \cdot 2}^{2}}-6 \cdot 2+7=12-12+7=7(m/s)$.
(Đúng) Gia tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$ là ${a(2)=v^{\prime}(2)=s^{\prime \prime}(2)=6 \cdot 2-6=6\left({m} / {s}^2\right)}$.
(Vì): Gia tốc của vật tại thời điểm ${t=2}$ là: $a\left( 2 \right)={v}’\left( 2 \right)={{s}’}’\left( 2 \right)=6 \cdot 2-6=12-6=6\left( m/{{s}^{2}} \right)$.