Ông Thanh nuôi cá chim ở một một cái ao có diện tích là $50{{m}^{2}}$.Vụ trước ông nuôi với mật độ là $20$ con/m2 và thu được 1,5 tấn cá.

Ông Thanh nuôi cá chim ở một một cái ao có diện tích là $50{{m}^{2}}$.Vụ trước ông nuôi với mật độ là $20$ con/m2 và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên $0,5$ kg? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

a) Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là $1500$ con.

b) Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là $1,5$ (kg).

c) Tổng trọng lượng cá thu được ở vụ này là $F\left( x \right)=-0,0625{{x}^{2}}+61x+1500$ (kg).

d) Vụ tới ông Thanh phải thả $512$ con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất.

Lời giải: Số cá giống mà ông Thanh đã thả trong vụ vừa qua là $50 \times 20 = 1000$ con. Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là: $\dfrac{1500}{1000} = 1,5$ (kg).
Gọi số cá giống cần thả ít đi trong vụ này so với vụ trước là $x$ (con), với $0 \le x \le 1000$.
Theo đề bài, nếu số cá giảm $x$ con (tổng cộng), thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng thêm $0,0625x$ (kg/con). (Giả định rằng “giảm 8 con/m2” được tính tương ứng cho tổng số con cá giảm đi, tức $0,5/8 = 0,0625$ kg/con cho mỗi con cá giảm đi).
Tổng số lượng cá thu được ở vụ này được tính bằng công thức:
$F\left( x \right)=\left( 1000-x \right)\left( 1,5+0,0625x \right)$.
Khai triển $F\left( x \right)$: $F\left( x \right)=1000 \times 1,5 + 1000 \times 0,0625x – 1,5x – 0,0625{{x}^{2}} = 1500 + 62,5x – 1,5x – 0,0625{{x}^{2}} = -0,0625{{x}^{2}}+61x+1500$.
Để tìm giá trị $x$ mà $F\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm $F’\left( x \right)$:
$F’\left( x \right)=-0,0625 \times 2x+61 = -0,125x+61$.
Đặt $F’\left( x \right)=0 \Leftrightarrow -0,125x+61=0 \Leftrightarrow 0,125x=61 \Leftrightarrow x=\dfrac{61}{0,125} = 488$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $F\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=488$.
Vậy số cá giống ông Thanh phải thả trong vụ tới là: $1000-488=512$ con.
(Sai) Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là $1500$ con.
(Vì): Số cá giống mà ông Thanh đã thả trong vụ vừa qua là $50 \times 20 = 1000$ con.
(Đúng) Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là $1,5$ (kg).
(Vì): Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là: $\dfrac{1500}{1000} = 1,5$ (kg).
(Đúng) Tổng trọng lượng cá thu được ở vụ này là $F\left( x \right)=-0,0625{{x}^{2}}+61x+1500$ (kg)
(Vì): Tổng số lượng cá thu được ở vụ này được tính bằng công thức: $F\left( x \right) = \left( 1000-x \right)\left( 1,5+0,0625x \right) = -0,0625{{x}^{2}}+61x+1500$.
(Đúng) Vụ tới ông Thanh phải thả $512$ con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất.
(Vì): Để tổng năng suất cao nhất, số cá giống cần giảm $x = 488$ con. Vậy số cá giống ông Thanh phải thả trong vụ tới là: $1000 – 488 = 512$ con.